La recuperación de un grupo de su C*-álgebras y el grupo de álgebra

Question

Deje $G$ $H$ ser localmente compacto grupos. ¿Alguien sabe las respuestas a estas preguntas? Es cierto que:

1. si $C^*(G)$ $C^*(H)$ $*$- isomorfos, entonces $G\cong H$?
2. si $C_r^*(G)$ $C_r^*(H)$ $*$- isomorfos, entonces $G\cong H$?
3. si $L^1(G)$ $L^1(H)$ $*$- isomorfos, entonces $G\cong H$?

¿Alguien sabe si alguna de estas preguntas tienen respuestas positivas en general? Es posible la recuperación de un grupo de cualquiera de las álgebras de arriba?

Gracias.

Answer 1

Es posible recuperar el grupo $G$ desde el álgebra de Banach $L^1(G)$.

Wendel demostrado en 1950 que existe una isométrica isomorfismo entre las álgebras de Banach $L^1(G)$ $L^1(H)$ si y sólo si $G$ $H$ son isomorfos como grupos topológicos.

Wendel la primera prueba se basó en un teorema sobre la positiva isomorphisms debido a Kawada. Unos años más tarde Wendel descubierto que la izquierda centralizadores $L \colon L^1(G) \to L^1(G)$, es decir, la lineal mapas de $L$ satisfacción $L(f \ast g) = L(f) \ast g$, están dadas por las circunvoluciones por una medida de Radón en $G$: $L(f) = \mu \ast f$. Luego resultó que un operador de convolución es una isométrica isomorfismo si y sólo si $\mu = e^{it} \delta_g$. Desde allí es sólo un pequeño paso para mostrar que un isomorfismo isométrico $L^1(G) \to L^1(H)$ debe ser dada por un isomorfismo $\varphi \colon G \to H$ retorcido por un carácter $\chi \colon G \to S^1$.

Answer 2

Incluso para grupos finitos, uno no puede esperar recuperar a ser capaz de recuperar el grupo de la $C^*$-álgebra. Por ejemplo, hay dos nonabelian grupos de orden 8. Ambos tienen un grupo de $C^*$-álgebra $$ \mathbb C \oplus \mathbb C \oplus \mathbb C \oplus \mathbb C \oplus M_2(\mathbb C), $$ aunque los grupos no son isomorfos. Información adicional (por ejemplo, un comultiplication) es necesario antes de que uno puede recuperar el grupo original.

En la conmutativa caso, es aún peor. Cualquiera de los dos finito nonisomorphic abelian grupos de orden $n$ grupo $C^*$-álgebra $\mathbb C^n$.

Mi primer comentario sobre las álgebras de grupo era incorrecta. Hay no isomorfos grupos $G$ $H$ tal que $L_1(G)$ $L_1(H)$ son isomorfos. Sin embargo, como Martin señala a continuación, la existencia de un isomorfismo isométrico $L_1(G) \simeq L_1(H)$ implica $G \simeq H$.