Si $x+\frac{1}{x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$x^{2000}+\frac{1}{x^{2000}}= $?

Question

Si $x+\frac{1}{x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$$x^{2000}+\frac{1}{x^{2000}}=?$$

Yo:

$$\left(x^{1000}\right)^2+\left(\frac{1}{x^{1000}}\right)^2=\left(x^{1000}+\frac{1}{x^{1000}}\right)^2-2$$

Continuación ?

Answer 1

Tenga en cuenta que $a = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ satisface la ecuación de $a^2 - a - 1 = 0$

Sustituyendo $a=x+\frac{1}{x}$ le da:

$$0 = \left(x+\frac{1}{x}\right)^2 - \left(x+\frac{1}{x}\right) - 1 = x^2 - x + 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$$

$$\iff \quad x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = 0$$

Multiplying by $x+1$ results in $x^5+1=0$, so $x$ is a complex $5^{th}$ root of $-1$ therefore $x^5 = -1$.

Then $x^{2000}+\frac{1}{x^{2000}} = \big(x^{5}\big)^{400} + \cfrac{1}{\big(x^{5}\big)^{400}} = (-1)^{400} + \cfrac{1}{(-1)^{400}} = 1 + 1 = 2$.

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P. S. Por una mano pesada "solución" a la melodía de "cómo romper una nuez con un martillo", vamos a Wolfram Alpha hacer todo el trabajo:

resultant[resultant[x^2 - a x + 1, a^2 - a - 1, a ], x^4000 - b x^2000 + 1, x] = (b-2)^4

Answer 2

Si $a_n=x^n+\frac{1}{x^n}$ $a_n=a_1\cdot a_{n-1}+a_{n-2}=\phi\cdot a_{n-1}-a_{n-2}$ que es un de segundo orden lineal de recurrencia, donde $\phi=\frac{1+\sqrt 5}{2}$. Las condiciones iniciales son $a_1=\phi$$a_2=a_1^2-2=\phi^2-2=\phi-1$, ya que el $\phi^2=\phi+1$

Answer 3

Edit: Encontré otra solución, eliminó el antiguo respuesta fue incorrecta de todos modos)

Ha $x+\frac{1}{x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Por simple manipulación algebraica se puede obtener la $$x^4-x^3+x^2-x+1 = 0$$ Ahora note que $x^4 = x^3-x^2+x-1$ y multiplicando ambos lados por $x$ obtener $x^5 = x^4-x^3+x^2-x=-1$.

Por lo tanto $$x^{2000}+\frac{1}{x^{2000}} = ({x^{5}})^{400}+\frac{1}{(x^{5})^{400}} = (-1)^{400}++\frac{1}{(-1)^{400}} = 1+1 = 2$$

Answer 4

He aquí otro enfoque para el registro.

1. La ecuación de $x+ \frac{1}{x}=\alpha$ donde $\alpha \in [-2,2]$ puede ser resuelto de la siguiente manera. Identificar las $\alpha$$2\cos (\theta)$, y observar que dejar a $z=e^{i\theta}$,a partir de la definición de $\cos (\theta)$, tenemos $$z+ \frac{1}{z}=2\cos(\theta)=\alpha.$$

2. También, a partir de la definición de $\cos$,

$$z^k + \frac{1}{z^k} = 2\cos (k \theta).$$

3. Volvamos ahora a nuestra pregunta. Deje $\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. A continuación,$\cos(\theta) = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$. Esto nos da $\theta = \pm \frac{\pi}{5} \mod 2\pi$. Por lo tanto, la respuesta al problema es $2\cos (400\pi)=2$.

Answer 5

Deje $\psi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $ $$x + \frac{1}{x} = \psi$$ $$x^2 + 1 = \psi x $$ $$x^2 - \psi x + 1 = 0$$ Uso de la fórmula cuadrática aquí para resolver por $x$. A continuación, enchufe de que en la expresión dada.