¿Dependen los resultados de la mecánica estadística de la elección de los macroestados?

Question

Consideremos un imán con temperatura $T$ . Podemos observar su magnetización neta $M$ por lo que decimos que un valor de $M$ especifica un macroestado. La mecánica estadística nos dice en qué macroestado se encuentra el imán. Para ello, calculamos la energía libre $F(M)$ y minimizarlo. La energía libre se define por $$F = U - TS$$ y por lo tanto depende de la entropía $S$ . Esta entropía está determinada por el número de microestados que podrían ser compatibles con el macroestado dado, es decir, el número de estados de espín que conducen a la magnetización que observamos.

Este procedimiento siempre me ha parecido incompleto porque parece basarse en una noción subjetiva de conocimiento. La razón por la que hay muchos microestados permitidos es porque hemos postulado que sabemos nada sobre el sistema además de la magnetización neta; si supiéramos algo más, disminuiría el número de microestados consistentes y cambiaría la entropía, lo que cambia $F$ .

Así, parece que el resultado del cálculo depende del conjunto de macroestados que utilicemos. Por ejemplo, supongamos que, de alguna manera, adjuntamos un dispositivo de medición a cada uno de los giros. Entonces, en principio, podría especificar mis macroestados con una larga lista que contenga el estado de cada espín; entonces sólo hay un microestado correspondiente a cada macroestado. En este caso, $S = 0$ para cada macroestado, $F = U$ y la energía libre mínima se alcanza para el mínimo $U$ .

Entonces concluyo que el sistema está siempre en estado de reposo.

¿Qué hay de malo en este razonamiento? ¿Es de alguna manera ilegal hacer esta elección de macroestado? ¿Podría la adquisición de toda esta información sobre los espines cambiar necesariamente el comportamiento del imán, por ejemplo, a partir de algo como el principio de Landauer? En general, ¿puede cambiar la elección del macroestado las predicciones de la mecánica estadística?

Answer 1

Esto era demasiado largo para un comentario, así que lo publico como respuesta.

Secundo el consejo de @MarkMitchison de leer la obra de E.T. Jaynes. Su punto de vista es exactamente idéntico al que tú has expuesto. Si le he entendido bien, la entropía (en mecánica estadística) es una herramienta para la inferencia estadística, que te capacita para tomar la decisión menos sesgada respecto a varios parámetros macroscópicos basándote sólo en la información que tienes (siendo esa información tu conocimiento del macroestado) y nada más. Pero el hecho de que hayas hecho una inferencia estadística no implica que la naturaleza deba ajustarse a ella. Si tu inferencia es correcta o no, hay que verificarlo haciendo experimentos. Hasta donde yo sé, en los casos ordinarios, la inferencia estadística basada en la maximización de la entropía funciona excelentemente, pero a priori no es necesario. Si descubre que los resultados experimentales no validan su inferencia, significa que la información que tenía era inadecuada, irrelevante o incorrecta.

Cuando la entropía se interpreta de esta manera, se vuelve mucho más general. Permítanme dar un ejemplo de mi propio trabajo de investigación. He utilizado el procedimiento de maximización de la entropía para encontrar la distribución del diámetro de equilibrio de las gotas en experimentos de flujo turbulento, basándome sólo en el conocimiento del volumen medio de las gotas (igual que se encontraría la distribución de la velocidad de las moléculas dada la energía media). En algunos casos da un buen ajuste. En otros, no. En los casos en los que no se ajusta, indica que hay otros factores, además del volumen medio de las gotas, que dictan la distribución de tamaños, y tengo que introducir hipótesis adicionales para tener en cuenta lo mismo.

Answer 2

Para un sistema en equilibrio térmico, los únicos macroestados admisibles son los de la forma $\rho=e^{-S/k_B}$ , donde $S$ es una combinación lineal de números cuánticos conservados aditivamente. Esto limita mucho la posibilidad de conjuntos como el canónico y el gran canónico, y excluye tu elección.

Fuera del equilibrio, los macroestados admisibles siguen siendo de la forma $\rho=e^{-S/k_B}$ pero las opciones de $S$ son más variados. Véase, por ejemplo, el capítulo 10 de mi libro en línea ''Mecánica clásica y cuántica mediante álgebras de Lie''. Este capítulo contiene también una discusión sobre la relación entre entropía e información.

Answer 3

Tomemos el modelo de Ising para simplificar (como tú has hecho): Creo que elegir un único microestado entre todos los posibles microestados correspondientes al macroestado descrito por la magnatización $M$ está cambiando las reglas del juego.

La cuestión es que el formalismo de la mecánica estadística de equilibrio se deriva bajo el supuesto de que el sistema es ergódico es decir, que para tiempos suficientemente grandes todos los microestados correspondientes a su macroestado serán vistos con igual probabilidad.

Para decirlo de otra manera, si su sistema está en equilibrio termodinámico en el microestado $S$ con magnetización $M$ Si se espera lo suficiente, siempre habrá una fluctuación térmica lo suficientemente grande como para llevar el sistema al estado $S'$ con una magnetización siempre igual a $M$ .

Como quiere que sus resultados sean válidos para cualquier momento $t$ (estamos trabajando con equilibrio mecánica estadística al fin y al cabo), tienes que tener en cuenta que habrá fluctuaciones térmicas que cambiarán el microestado de tu sistema si esperas un tiempo suficiente.

Renunciar a la hipótesis ergódica significaría renunciar a la mayoría de los resusltados válidos en el Estado de equilibrio. Mech.: de hecho, tratar sistemas no ergódicos como vasos o geles (o vasos de espín, en nuestro caso) es mucho más complicado que tratar sistemas ergódicos.

Answer 4

Un macroestado está determinado únicamente por el valor de los parámetros macroscópicos del sistema, es decir, las magnitudes termodinámicas como la presión, la temperatura, etc. Cuando se coloca un dispositivo de medición en cada uno de los espines, se habla de un microestado del sistema. En la termodinámica del equilibrio y en la física estadística se supone que los grados de libertad macroscópicos son únicos para la mayor parte del sistema. Quiero decir que solo deberias asignar una magnetizacion neta global al sistema (en lugar de una configuracion de espines como has mencionado).

Así que la respuesta a tus dos primeras preguntas es que no has elegido un macroestado en absoluto.

La respuesta a tu tercera pregunta, si la he entendido bien, es que sí, en este caso estás realizando una medición en todos los grados de libertad del sistema y muchos de los problemas relacionados con la medición cuántica pueden ocurrir en esta situación.

Si por cambiar la elección del macroestado te refieres a que al cambiar el valor de las cantidades macroscópicas cambia la predicción de la mecánica estadística, entonces la respuesta es sí (por ejemplo al disminuir la temperatura se producen transiciones de fase en los sistemas y cada fase tiene un comportamiento completamente diferente normalmente).

Si por cambiar la elección del macroestado te refieres a elegir un grupo diferente de parámetros macroscópicos independientes como los grados macroscópicos del sistema y ponerles restricciones, entonces la respuesta es sí y, de hecho, cambiar las restricciones sobre los grados de libertad macroscópicos suele dar lugar a una mecánica estadística en un conjunto diferente.

Answer 5

En la mecánica estadística suponemos que un sistema aislado en equilibrio tiene la misma probabilidad de estar en cualquiera de sus microestados accesibles. Esto nos permite hacer cálculos en base a la estadística, el método claramente funciona. Sin embargo, se puede demostrar fácilmente que la suposición de igualdad de probabilidades es falsa. Por ejemplo, considere la posibilidad de hacer un experimento de expansión libre en un hipotético sistema totalmente aislado, de manera que el estado cuántico del sistema no se descohesione debido a las interacciones con el entorno. En ese caso, el conjunto de estados físicos distinguibles después de la expansión debe ser el mismo que el número original de estados, debido a la evolución unitaria del tiempo.

Sin embargo, no cabe duda de que la mecánica estadística no se romperá en este experimento. Así pues, pretender que el mayor número de estados que incluye todos los estados compatibles con los macroestados en los que sabemos que el sistema realmente no puede estar (no evolucionan de nuevo al volumen más pequeño bajo la inversión del tiempo) son todos igual de probables que los estados en los que el sistema realmente puede estar, conduce a las mismas predicciones de las propiedades del gas.

Claramente, entonces, lo que sucede aquí es que el postulado de la igualdad de probabilidades es irrelevante, lo que importa es que existe un gran conjunto de estados que son estadísticamente representativos de los estados en los que el sistema puede estar realmente, esto permite considerar este gran conjunto de estados para hacer cálculos estadísticos. Pero esto significa que los fundamentos de la mecánica estadística tal y como se enseñan en casi todos los libros de texto son engañosos (ni siquiera están equivocados). Explicar por qué funciona la mecánica estadística sigue siendo una tema de investigación activo ideas como termalización del estado propio se han desarrollado recientemente.

Entonces, teniendo esto en cuenta, considerando el ejemplo de la pregunta, está claro que cuando se reduce cada vez más el número de estados, el razonamiento estadístico se romperá cada vez más (incluso dentro del paradigma de la mecánica estadística donde entonces se tienen en cuenta mayores fluctuaciones debido a un menor número de grados de libertad) y la dinámica real del sistema comenzará a ser cada vez más importante.