¿Cómo imaginan intuitivamente los álgebras los subgrupos normales e ideales?

Question

He desarrollado una intuición para homomorfismos y núcleos, pero tengo dificultades para encontrar una comprensión útil de subgrupos normales e ideales.

Answer 1

Los subgrupos normales e ideales son núcleos. Esa es la razón por la que son interesantes, son precisamente los subgrupos/anillos que son núcleos de homomorfismos.

Por sí mismos, los ideales y los subgrupos normales típicamente no son interesantes. Se vuelven interesantes cuando se consideran junto con los homomorfismos de los cuales son los núcleos: es decir, estamos interesados en la estructura de $G/N$ o $R/I$, y cómo ellos, junto con la estructura de $N$ e $I$, dan información sobre la estructura de $G$ y $R.

Answer 2

Para agregar a las respuestas existentes, los ideales en los anillos son útiles más allá de ser núcleos. Por ejemplo, los ideales en un anillo $R$ son $R$-módulos (grupos abelianos con una acción de $R$) y a veces tienen una estructura interesante en ese sentido.

Además, en geometría algebraica tratamos el conjunto de todos los ideales primos en un anillo conmutativo como un espacio topológico con estructura adicional; esto se llama el espectro del anillo. Al principio, puede ser difícil imaginar cómo este espacio topológico podría ser útil; la motivación original es que el conjunto de todos los polinomios (en cualquier número de dimensiones) que se anulan en un conjunto particular forman un ideal primo. Por lo tanto, los ideales primos también podrían verse como puntos en este sentido.

Answer 3

Para elaborar en un punto muy importante brevemente mencionado en la respuesta de Matt Samuel:

• en geometría algebraica, un anillo $R$ se ve como representando un espacio $X$, con elementos del anillo siendo algún tipo de funciones en el espacio — extendiendo la forma en que, por ejemplo, el anillo de polinomios $\mathbb{Z}[x,y]$ se puede ver como un anillo de funciones en el plano 2-dimensional.

• entonces, cualquier subespacio $X' \subset X$ del espacio debería inducir un ideal $I_X \subseteq R$, el ideal de funciones que se anulan (es decir, son constantemente 0) en el subespacio $X'$. Así que un ideal puede representar un subespacio; por ejemplo, el ideal $(x-1) \subseteq \mathbb{Z}[x,y]$ representa la línea $x = 1$ en el plano, ya que un polinomio se anula en ese subespacio exactamente si es un múltiplo de $x-1$.

• un poco más generalmente, las funciones que "se anulan a mayor orden" en un subespacio también forman un ideal. Por ejemplo, $((x-1)^2)$ representa las funciones que se anulan de segundo orden en la línea $x=1$. Si no has encontrado esta idea de anulación de mayor orden antes, mira (o imagina) un gráfico 3D de la función $z = (x-1)^2$ en el plano $xy$, y ve cómo no es solo cero en la línea $x=1$, es plana en esa línea. Intuitivamente, se puede pensar en que se anula no solo en esa línea, sino en un ensanchamiento infinitesimal de esa línea. (Y $(x-1)^3$ se anula en un ensanchamiento ligeramente más grueso infinitesimal, y así sucesivamente.)

Entonces intuitivamente, en la imagen geometría algebraica, los ideales de un anillo corresponden a subespacios de un espacio.