Mostrando n! es mayor que n a la décima potencia

Question

Me gustaría mostrarles $n!>n^{10} $ lo suficientemente grande como n ( es decir,$ n \geq 15 $).

Por inducción, no sé cómo proceder en este paso:

$$ (n+1)\cdot n!>(n+1)^{10} $$

Como yo no puede ver cómo simplificar $(n+1)^{10} $.

Esto parece tal cosa trivial (y probablemente lo sea), pero yo no puedo hacerlo. No hay una manera más fácil de mostrar esto?

(P. S. I necesidad de abstenerse de la utilización de derivadas, integrales, etc., Supongo, entonces usted podría trabajar en algo con la pendiente de las respectivas funciones)

Answer 1

Usted necesita trabajar en el hecho de que $n! \gt n^{10}$ que es el corazón de la inducción. Así, por $n \gt 15$ $$\text {Base case } 15!-15^{10}=731023977375 \gt 0\\ \text {Assume }n! \gt n^{10}\\(n+1)! =(n+1)n!\gt (n+1)n^{10}=(n+1)^{10}\frac {n^{10}}{(n+1)^9}$$ Now we need to argue that the last fraction on the right is greater than $1$ y estamos en casa.

$$\frac {n^{10}}{(n+1)^9} = n\left(1-\frac 1{n+1}\right)^9\gt n\left(1-\frac 9{n+1}\right)\gt 15\cdot \frac 7{16}\gt 1$$

Answer 2

Ya que es necesario, aquí en la base en caso de $15! > 15^{10}$ sin (mucho) cálculo:

$15! = 2^{7}\cdot 2^{3}\cdot{2}\cdot 3^{5}\cdot{3}\cdot 5^{3}\cdot 7^2\cdot 11\cdot 13 \\ \fantasma{15!} = 2^{11}\cdot 3^{6}\cdot 5^{3}\cdot 7^2\cdot 11\cdot 13 \\ \phantom{15!} = 16^2\cdot 15^3\cdot 18 \cdot (14\cdot 21)\cdot (22\cdot13) \\ \phantom{15!} > 15^2\cdot 15^3 \cdot 15\cdot 15^2\cdot 15^2 = 15^{10}$

Answer 3

Recuerde presentar el caso base, es decir, que $15! > 15^{10}$. Después de que se ha verificado, hacer la hipótesis de inducción (IH):

IH: $m! > m^{10}$

Mostrar: $(m+1)! > (m+1)^{10}$ el uso de IH.

Como hemos hecho hasta ahora, lo que tenemos que mostrar es: \begin{align} (m+1)! = (m+1)m! > (m+1)^{10} \end{align}

También tenga en cuenta que $(m+1)^{10} = (m+1)(m+1)^9$. Así, la cancelación de la " a$m+1$" términos, debemos mostrar $m! > (m+1)^9$ usando el hecho de que $m! > m^{10}$.

Por último, observe que si podemos demostrar que $m^{10} > (m+1)^9$, entonces hemos terminado. De forma equivalente, sólo tenemos que mostrar que $\frac{m^{10}}{(m+1)^9} > 1$. Voy a dejar esto para usted.

Answer 4

Esta es sólo una diversión de observación: $$ (n!)^2= \prod_{i=1}^n i(n+1-i)>n^n $$ así que al menos para $n\geq 20$ tenemos $\sqrt{(n!)^2}=n!>n^{n/2}\geq n^{10}$. Ante esto, lo único que necesitábamos para dar cuenta de los casos de $n=15,...,19$. Pero esto no es un enfoque inductivo, por supuesto.

Answer 5

Deje $n\geq 15$ tal que

$$n!\geq n^{10}$$

queremos que

$$(n+1)!=(n+1)n!\geq(n+1)n^{10}$$

$$\geq (n+1)^{10}$$

lo que significa que queremos probar

$$n\geq (1+\frac 1n)^9$$

o

$$n^{\frac{n}{9}}\geq (1+\frac 1n)^n$$

y esto es cierto para lo suficientemente grande como $n$ causa la secuencia de la izquierda se dirige a $+\infty$, mientras que la secuencia en la derecha va a $e$.