Verificar que el ideal de $(x^3-y^2)$ es el prime

Question

Cómo demostrar que el ideal de $I=(x^3-y^2)$ $k[x,y]$ es primo?

He construido un mapa de$k[x,y]$$k[t]$, que se asigna a$x$$t^2$, e $y$$t^3$. Entonces, quiero mostrar que el núcleo es exactamente $I$. Pero la dificultad es que cómo probar el kernel está contenida en $I$. ¿Podría usted ayudarme? Muchas gracias!

Answer 1

Basta probar que $x^3 - y^2$ es irreducible en a $k[x, y]$. Por lo tanto, es suficiente para demostrar que es irreducible en a $k(y)[x]$. Esto es claro, ya que no tiene raíz en $k(y)$.

Answer 2

Tomar un elemento $f(x,y)\in Ker f$ es decir, Ahora, considere la posibilidad de $f(x,y)$ como un polinomio en la variable $x$ y los coeficientes procedentes de $k[y]$. Si usted divide $f(x,y)$ $(x^3-y^2)$ nos pondremos $f(x,y)=g(x,y)(x^3-y^2)+r(x,y)$ donde $r(x,y)\in (k[y])[x]$ y el grado de $r(x,y)$ es de menos de tres. Pero, a continuación, $f(t^2,t^3)=0$ implica $r(t^2,t^3)=0$. Pero $r(t^2,t^3)$ no puede ser cero beacuase $r(x,y)$ es un polinomio de grado menor que tres en la variable $x$ con coeficientes en $k[y.]$

La explicación de la "Sino $r(t^2,t^3)$ no puede ser cero beacuase $r(x,y)$ es un polinomio de grado menor que tres en la variable $x$ con coeficientes en $k[y]$":

$r(x,y)=h_1(y).x^2+h_2(y).x+h_3(y)$. Por lo $r(t^2,t^3)=h_1(t^3).({t^2})^2+h_2(t^3).t^2+h_3(t^3)$ . Deje que el mayor poder de $h_1(t^3).({t^2})^2$ $t^{3m+4}$ donde m es el grado de $h_1(t)$. Del mismo modo el más alto poder de$h_2(t^3).t^2$ $t^{3n+2}$ n, donde n es el grado de $h_2(t)$. y el mayor poder de $h_3(t^{3})$ $t^{3k}$ donde k es el grado de $h_3(t)$.

Si $r(t^2,t^3) $ tiene que ser cero, a continuación, $3m+4=3n+2=3k$ algunos $m,n,k \in \mathbb Z$ que es igual a decir $3m+1=3n+2=3k$ algunos $m,n,k \in \mathbb Z$. Whioch es imposible. Por Lo $r(t^2,t^3)=0$ $f(x,y)\in Ker$