Argumento de plausibilidad para el lema de Zorn

Question

En "Mathematical Physics" de Robert Geroch, se da el siguiente 'argumento de verosimilitud' para el Lemma de Zorn [Si todo subconjunto totalmente ordenado de un conjunto parcialmente ordenado $S$ está acotado por encima, $S$ tiene un elemento máximo]:

No es difícil convencer a onselef de que esta afirmación [el lema de Zorn] parece "verdadera". Escoge $s_1$ en $S$ . Si esto $s_1$ no es un elemento máximo, existe un $s_2$ diferente de $s_1$ con $s_1 \leq s_2$ . Si $s_2$ no es máxima, existe un $s3$ diferente de $s_2$ con $s_2 \leq s_3$ etc. O bien obtenemos finalmente un elemento maximal (en cuyo caso hemos terminado), o bien obtenemos $s_1 \leq s_3 \leq s_3 \leq ... $ . En este último caso, $\{s_1,s_2,...\}$ es un subconjunto totalmente ordenado de $S$ de ahí que esté acotado por encima, digamos que por $s_1'$ . Si $s_1'$ no es un elemento máximo, hay $s_2'$ con $s_1' \leq s_2'$ etc. (Pasamos por el infinito). Si no encontramos ningún elemento máximo en $s_1', s_2', ...$ obtenemos, de nuevo, un conjunto totalmente ordenado, que debe estar acotado por encima, digamos por $s_1''$ etc. Supongamos que tenemos mala suerte y pasamos por una secuencia infinita de tales secuencias sin encontrar un elemento máximo. Entonces obtenemos una secuencia totalmente ordenada $s_{m}^{n} \{m,n = 1,2,...\}$ que debe estar acotado por encima, digamos por $t1$ etc. Continuamos de esta manera. En cada etapa tenemos un subconjunto totalmente ordenado, que debe estar acotado por encima, por lo que añadimos este límite superior para obtener un nuevo subconjunto totalmente ordenado. Podemos pasar por el infinito, una infinidad de infinitos, etc. Nunca nos atascamos; siempre podemos seguir. Deberíamos obtener eventualmente un elemento maximal".

Sin embargo, no veo cómo este argumento hace plausible el Lemma de Zorn. En todo caso, parece decir que es posible que podamos recorrer infinidades de elementos para siempre, encontrando siempre límites superiores y formando conjuntos totalmente ordenados con ellos, y haciendo esto una y otra vez, sin encontrar nunca un elemento maximal. En particular, ¿cómo se deduce del argumento la última frase de arriba: "Deberíamos obtener eventualmente un elemento máximo"?

Answer 1

No se trata de un argumento matemático. Y como no es realmente una demostración, el lema de Zorn no se deduce del todo. Se trata de una explicación intuitiva que intenta convencer al lector de que acepte el lema de Zorn como un axioma.

El punto que el párrafo está tratando de hacer es que si tenemos un orden parcial que satisface las condiciones en el lema de Zorn, entonces podemos definir este proceso recursivo que construirá una cadena, y si no hay ningún elemento maximal entonces este proceso no puede terminar.

Pero cuando decimos "terminar" no lo decimos en el sentido de "aplicar". Nos referimos a eso en el sentido de la teoría de conjuntos. Diciendo que de hecho definimos una función inyectiva desde una clase propia hacia un conjunto, lo cual es una contradicción. Que lo que significa "pasar por el infinito, un infinito de infinitos etc.", que pasamos por el primer $\omega$ pasos, pero podemos continuar, y pasar por más y más y más pasos y así sucesivamente.

Una de las razones para dar este tipo de... explicación a medias radica en la tercera palabra de su pregunta "Física". Para entender completamente el lema de Zorn hay que entender primero algo de teoría de conjuntos, entender el axioma de elección, entender el principio de buen orden, etc. Uno puede simplemente escribirlo como una caja negra, o convencerse de que entiende cómo funciona el lema de Zorn. Pero no espero que un físico se siente y entienda la mecánica de la inducción transfinita, y el axioma de elección.

Así que para convencer a un físico de que el lema de Zorn es plausible, hay que recurrir a furiosos tejemanejes como los del párrafo citado.

El párrafo es, de hecho, un amplio trazo de cómo demostrar el lema de Zorn a partir del axioma de elección, utilizando la recursión transfinita. La parte "a través del infinito" es lo que se conoce como etapa límite en la recursión transfinita.

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Por último, permítanme señalar que, por supuesto, hay que estar convencido de la plausibilidad del lema de Zorn. Es indemostrable sin el axioma de elección (y, de hecho, asumiendo el lema de Zorn podemos demostrar el axioma de elección) y eso hace que el lema sea muy poco constructivo. Y uno puede ver eso desde la formulación del lema. Existe un elemento máximo . No se nos dice cómo es ese elemento, ni qué tipo de propiedades puede tener. Simplemente existe.

Answer 2

La idea principal, que no es para nada intuitiva sin algún antecedente de teoría de conjuntos, es que si este proceso de pasar por infinitos, infinitos de infinitos, etc., no resultara finalmente en un elemento maximal, entonces el $S$ sería demasiado grande para ser un conjunto (sería una clase propia).