¿Cuál es el mayor cardenal que se puede inyectar en $\mathbb{R}$ en ZF?

Question

Esta pregunta lleva a cabo en ZF. Asumir una leve grandes cardenales; entonces es consistente (de hecho, se desprende de ANUNCIOS, la consistencia de lo que se sigue de leve grandes cardenales) que no son muy grandes y bien ordenado cardenales en que $\mathbb{R}$ surjects (cf. http://mathoverflow.net/questions/47028/value-of-theta-in-zfad). Estoy interesado en la conversación: ¿qué tipo de conjuntos se puede inyectar en $\mathbb{R}$?

Mi pregunta principal es, ¿Es congruente con la ZF de que hay algunos medibles bien ordenado cardenal $\mu$ y una inyección de $i: \mu\rightarrow\mathbb{R}$? Sospecho que esta pregunta tiene una fácil respuesta negativa que no estoy viendo ahora mismo, de ahí mi preguntando aquí frente al Desbordamiento.

Un secundario, y más vago, la pregunta, es la siguiente: en ZF (o ZF+AD), ¿qué tipo de conjuntos se puede inyectar en $\mathbb{R}$?

Muchas gracias a todos de antemano!

Answer 1

Si bien es cierto en virtud de ZF+AD que no es $\omega_1$-secuencia de los distintos reales, y también que $\omega_1$ es un cardinal medible, de hecho, usted no necesita ningún ANUNCIO de hipótesis para demostrar que un cardinal medible nunca puede inyectar en $\mathbb{R}$.

Teorema.(Suponga ZF sólo) Un cardinal medible $\kappa$ no puede inyectar en $\mathbb{R}$ o, de hecho, en $P(\delta)$ cualquier $\delta\lt\kappa$.

Prueba. Supongamos que $\kappa$ inyecta en $P(\delta)$ algunos $\delta\lt\kappa$. (Desde $\mathbb{R}$ es bijective con $P(\omega)$, esto incluye el caso de la pregunta.) Dando el resto de $P(\delta)$ fuera del rango de la inyección de medida $0$, se deduce que hay un $\kappa$-completa nonprincipal ultrafilter $\mu$$2^\delta$, las secuencias binarias de longitud $\delta$. Tenga en cuenta que para cualquier particular$\alpha\lt\delta$,$2^\delta=\{S\in 2^\delta\mid s(\alpha)=0\}\sqcup\{s\in 2^\delta\mid s(\alpha)=1\}$, y así es exactamente uno de estos conjuntos es en $\mu$. Por lo tanto, podemos definir un dígito $d_\alpha$ tal que $X_\alpha=\{ s\in 2^\delta\mid s(\alpha)=d_\alpha\}\in \mu$ por cada $\alpha\lt\delta$. Pero desde $\mu$ $\kappa$- completa, se desprende que el $\bigcap_{\alpha\lt\delta}X_\alpha\in \mu$. Pero esta intersección es, precisamente, $\{d\}$ donde $d(\alpha)=d_\alpha$, lo que contradice la suposición de que $\mu$ es nonprincipal. QED

Este argumento es esencialmente el mismo que el argumento utilizado en ZFC para demostrar que medible cardenales son fuertes límites.

Answer 2

A su segunda pregunta, no es comprobable obligado en ZF en el cardenal.

Considerar la Feferman-Levy modelo, en el que $\mathbb R$ es una contables de la unión de conjuntos contables, Cohen demostró que en ese modelo no hay $\aleph_1$ muchos de reales; que es sólo contables de subconjuntos de a $\mathbb R$ puede ser bien ordenado.

Por otro lado, si partimos de un modelo en el que $2^{\aleph_0}=\kappa$ e ir a través de la costumbre Cohen método de adición de un Dedekind-finito subconjunto de los reales, a continuación, nos aseguramos de que:

1. Los números reales no puede ser bien ordenado;
2. Hay una inyección de $\kappa$ a $\mathbb R$, lo cual es cierto ya que en primer lugar añadir countably muchos Cohen de reales (así que no hay cambio en la cardinalidad) y luego de reducir a un interior (modelo de ZF, por supuesto) y que tiene el mismo $\aleph$ números y contiene el modelo de terreno.

Por último, si recuerdo correctamente bajo el ANUNCIO de que cada conjunto de los reales es medible y tiene el perfecto set de la propiedad. Esto implica que no hay cardinalidades entre el $\aleph_0$ y la continuidad, pero también que el proceso no puede ser bien ordenado, ergo $\aleph_1$ no puede ser inyectado en los números reales.

Una observación final es que la asunción de ZFC sólo tenemos una limitación en el continuum, es decir,$\operatorname{cf}(2^{\aleph_0})>\omega$.