¿Implica Riemann integrable Lebesgue integrable?

Question

Supongamos que existe un integral definida en el sentido de Riemann. ¿Significa la integral existe como un integral de Lebesgue, y obtenemos el mismo resultado de cualquier manera? ---Por cierto: tengo una maestría en ingeniería eléctrica y un fuerte interés en matemáticas. Tuve un semestre de análisis real hace 25 años, he intentado aprender integración de Lebesgue por mi cuenta leyendo un libro sobre análisis real y eso fue hace unos años. Por lo tanto, no tengo una comprensión sólida de la materia.

Answer 1

Esto es cierto para el "bien" de Riemann integrable funciones de $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$, un hecho que se establezca en todos los tratamientos estándar de la integral de Lebesgue.

Sin embargo, no están mal de Riemann integrable funciones de $f: [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ que no son Lebesgue integrable. El estándar de la mayoría de contraejemplo ya ha sido discutido en este sitio: ver aquí.

Answer 2

Contestado en los comentarios: Sí.

Es un buen ejercicio para tratar de probarlo.