¿Por qué puedo hacer una sustitución de variable no inyectiva?

Question

Estaba utilizando la integración por sustitución para resolver esta integral indefinida bastante simple:

$$\int xe^{x^2}~dx$$

Simplemente hice la sustitución $$x^2=t$$ $$dt=2x~dx$$ Pero se me ocurrió que en realidad no entiendo cómo es posible, ¡porque la sustitución que hice no es inyectiva! En este caso, la integral es indefinida, pero ¿qué pasaría si intentara integrar sobre algún intervalo? ¿No podría una sustitución no inyectiva destruir información importante, por ejemplo, eliminar signos si elevo al cuadrado una variable, o algo así, y así dar una respuesta incorrecta?

Answer 1

La cuestión es que para integrales definidas solo necesitas que tu sustitución sea "piecewise injective", ya que puedes dividir tus integrales en finitas partes en las que tu sustitución piecewise injective es inyectiva. Por ejemplo, la sustitución $x^2 = t$ es inyectiva si restringes $x$ a $[0,\infty[$ o $]-\infty,0]$, por lo que básicamente puedes usar este cambio de variables en todas partes. Lo mismo ocurre con cualquier sustitución polinomial $t = p(x)$; el polinomio $p'(x)$ tiene finitos ceros, por lo tanto la derivada de $p(x)$ solo puede cambiar de signo un número finito de veces, por lo tanto es piecewise injective.

Answer 2

Probablemente sea un poco tarde para responder a esta pregunta, pero quizás pueda ayudar a futuros lectores.

Tenemos, como función en la variable $x$: $$\int xe^{x^2}dx = \int_{x_0}^xye^{y^2}dy$$ donde $x_0$ es cualquier número real fijo. Así que tomando $x_0=0$ obtienes una sustitución inyectiva.

Answer 3

$$\int xe^{x^2}dx$$

Sea $t=x^2$ y $dt=2xdx$, entonces obtenemos esto $$\frac{1}{2}\int e^tdt$$ la integral de $\int e^tdt$ es simplemente $e^t$.
Sustituyendo de nuevo obtenemos $$(1/2)e^{x^2}+c$$

Sé que probablemente ya has integrado esto y lo entiendo. Tu sustitución es inyectiva, recuerda que es una integral indefinida, si fueras a integrar en algún intervalo, no tendrías ningún problema de todos modos, trata de no darle muchas vueltas.