Dos teorías $T,T'$, ¿qué ¿$T\vdash Con(T')$ realmente nos dice acerca de los modelos de $T$?

Question

Inspirado por esta pregunta, que me di cuenta de que no podía contestar (porque el modelo de la teoría y a mí no).

He hecho un par de modificaciones (espero que constructiva) apriete la pregunta un poco.

Si por las teorías de $T,T'$ sucede que $T\vdash Con(T')$, ¿qué significa esto realmente me dicen acerca de los modelos de $T$ con respecto al $T'$? Qué nos dicen que cada modelo de $T$ tiene un definibles de la subestructura de que un modelo de $T'$, o es más sutil? O es incluso interesante a partir de un modelo teórico de punto de vista (es decir, es la prueba teórico de la relación entre el $T$ $T'$ generalmente, el único que es interesante)?

Me gustaría asumir $T$ $T'$ puede arrojar PA por defecto, pero me interesaría si algo general puede decirse acerca de los más débiles de las teorías.

Answer 1

Supongamos $T$ $T'$ son ambas teorías en el lenguaje de primer orden de la aritmética $\mathscr L_{\mathrm{A}}$, e $T\vdash\mathrm{Con}(T')$. (Esto supone el hecho de que $T'$ es definible en $\mathscr L_{\mathrm{A}}$.) Si $T$ es lo suficientemente fuerte como para probar una versión adecuada de Gödel Integridad del Teorema (en el sentido descrito en mi comentario de abajo), entonces, como usted escribió, para cada modelo de $M\models T$, $K\models T'$ que es definible en $M$ (y así que puede que respecta a $K\subseteq M$).

Para mí, en realidad, es más interesante considerar esta $K$ como un final de extensión de $M$ (siempre $T'$ se extiende, dicen, $\mathrm{PA}^-$). Uno puede hacer esto porque en el $M$-versión de $\mathscr L_{\mathrm A}$, hay un plazo cerrado $$ 0+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{\text{$m$ $1$'s}} $$ para cada $m\in M$. Como $K\models\mathrm{PA}^-$, las realizaciones de estos términos y condiciones constituyen un segmento inicial de $K$, que podemos identificar con $M$. Esto es interesante porque muchos de los problemas más importantes de la zona están relacionados con el fin de extensiones.

Answer 2

No es literalmente cierto que si $T \vdash \operatorname{Con}(T')$, entonces cada modelo de $T$ tiene un definibles de la subestructura que satisface $T'$. Por ejemplo, $T'$ podría incluso no ser en el mismo idioma como $T$, en cuyo caso no subestructura de un modelo de $T$, posiblemente, puede satisfacer $T'$.

Por ejemplo, PA demuestra la consistencia de una teoría de segundo orden aritmética conocida como $\mathsf{RCA}_0$. Ahora el idioma para $\mathsf{RCA}_0$ incluye una relación de símbolo $\in$ que no está en el idioma de PA, por lo que no subestructura de la PA puede satisfacer $\mathsf{RCA}_0$.

Del mismo modo, PA + Con(ZFC) demuestra Con(ZFC), pero no hay un modelo de PA tiene una subestructura que satisface ZFC.

Es cierto, sin embargo, que todos los modelos de PA intereprts un modelo de $\mathsf{RCA}_0$. Pero cada modelo de PA interpreta una fuerte teoría de segundo orden aritmético, $\mathsf{ACA}_0$, que es equiconsistent con PA. Por lo que no es también cierto que $T \vdash \operatorname{Con}(T')$ es equivalente a decir que el $T$ interpreta $T'$.

Si cada modelo de $T$ tiene un definibles de la subestructura de la satisfacción de $T'$ (o, de hecho, cualquier infraestructura de satisfacciones $T'$), que sólo demuestra que Con($T$) implica Con($T'$).