Para cualquier curva elíptica $E/\mathbb{Q}$, hay infinitamente muchos números primos $p$, que $E$ es común.

Question

Deje $E$ ser una curva elíptica definida sobre $\mathbb{Q}$, y solucionar una ecuación de Weierstrass para $E$ con coeficientes en $\mathbb{Z}$. ¿Cómo puedo ver que existen infinitos números primos $p \in \mathbb{Z}$ de manera tal que la reducción de la curva de $E/\mathbb{F}_p$ ha Hasse invariante $1$?

Joe Silverman , escribe lo siguiente aquí.

Elkies y Serre han independiente de las pruebas que para cada $\epsilon>0$ hay una constante $C_\epsilon>0$ tal que $$ {\#\{p\le X : E/\mathbb{F}_p \text{ es ordinario}\}} \ge C_\epsilon X^{3/4-\epsilon}. $$

Sin embargo, sólo quiero saber que hay infinitamente muchos ordinaria de los números primos, que debería ser mucho más fácil de ver.

Answer 1

Sólo para conseguir esto sin respuesta lista, permítanme dar una solución a los ejercicios que Silverman menciona. $\newcommand \Q{\mathbb{Q}}$ $\newcommand \Z{\mathbb{Z}}$ $\newcommand \F{\mathbb{F}}$ $\newcommand \E{\mathcal{E}}$ $\newcommand \p{\mathfrak{p}}$ $\newcommand \h{\mathcal{O}}$

Por lo tanto, vamos a $E/\Q$ ser una curva elíptica y deje $\E/\Z$ ser un mínimo de Weierstrass modelo (que existe desde $\Q$ tiene clase número $1$). Fijar un auxiliar del primer $\ell$. Nos dicen que si $p$ es primordial la satisfacción de las siguientes:

• $p\geqslant 5$
• $p\nmid\text{Cond}(E)$ (donde $\text{Cond}(E)$ es el conductor de la $E$)
• $p$ se divide completamente en $\mathcal{O}_K$ donde $K:=\mathbb{Q}(E[\ell](\overline{\mathbb{Q}}))$

a continuación, $E$ tiene buena ordinario de reducción en $p$. Esto demuestra que el reclamo ya que hay infinidad de $p$ la satisfacción de estas condiciones (hay una infinidad de números primos que dividen en $K$, aplicar un martillo a una mosca, Cebotarev densidad y hay sólo un número finito de números primos que no cumplan las dos primeras condiciones).

Para ver esto, vamos a $\p$ ser cualquier prime $\mathcal{O}_K$ dividiendo $p$. Tenga en cuenta que $E_K$ tiene buena reducción en$\p$, de hecho, un modelo de más de $(\h_K)_\p$$\E_{(\h_K)_\p}$. Ahora, tenga en cuenta que la teoría básica (suave adecuado cambio de base si estamos aplicando martillos para moscas de nuevo :P) dice que tenemos un isomorfismo $T_\ell E_{K_\p}\cong T_\ell \E_{k(\p)}$ ( $k(\p):= \h_K/\p$ ) entrelazamiento de las surjection $G_{K_\p}\to G_{k(\p)}$. Pero, tenga en cuenta que desde $p$ dividido en $K$ tenemos que $k(\p)=\F_p$. Por lo tanto, vamos a $\sigma\in G_{K_\p}$ levante $\text{Frob}_p\in G_{\F_p}$. Nota luego de que, por isomorfismo si Tate módulos tenemos que $\text{tr}(\sigma)=\text{tr}(\text{Frob}_p)$ como elementos de $\mathbb{Z}$. Pero, tenga en cuenta que

$$\text{tr}(\sigma)\mod \ell=\text{tr}(\sigma \mod \ell)=\text{tr}(\sigma\mid_{E[\ell]})=\text{tr}(\text{id})=2$$ y así, evidentemente, se puede concluir que la $\text{tr}(\text{Frob}_p)\ne 0$. Desde $p\geqslant 5$ esto implica que $\E_{\F_p}$ es ordinario como claime.d