Estaba leyendo arriba sobre la diferencia entre los sistemas contables e incontables y se preguntaba si había una base de innumerables dimensiones. Ahora sé que hay, sin embargo todos parecen cubrir áreas de nivel bastante alto en matemáticas. Así que me preguntaba; ¿Qué es el ejemplo más simple de una base de innumerables dimensiones de un espacio del vector sobre un campo?
Respuestas
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Pick $F$ a de ser algún campo, y $X$ a ser algunos de la multitud innumerable. Considere ahora $V$ a ser el espacio vectorial cuyos elementos son funciones de $f\colon X\to F$ tal que todos, pero un número finito de $x\in X$ satisfacer $f(x)=0$.
La adición es pointwise la suma y la multiplicación escalar es pointwise la multiplicación. Uno puede comprobar fácilmente que este es un espacio vectorial.
Ahora no es difícil comprobar que $\{\delta_x\mid x\in X\}$ donde $\delta_x$ es la función $$\delta_x(y)=\begin{cases}1 & x=y\\ 0 & x\neq y\end{cases}$$ is a basis for $V$, and it is clearly uncountable ($x\mapsto\delta_x$ es un bijection).
Tal vez valdría la pena agregar que el uso de un conjunto teórico axioma se conoce como El Axioma de Elección, o más a menudo útil equivalente Lema de Zorn, podemos probar que todo espacio vectorial tiene una base. Y entonces podemos concluir que bajo ciertas condiciones que esta base deben ser incontables.
Sin embargo, el axioma de elección sólo nos asegura la existencia de ciertos objetos, no proporciona una descripción. En particular, algunos ocurren naturalmente espacios vectoriales puede ser demostrado tener un incontable, utilizando el axioma de elección. Y podemos demostrar que este uso del axioma de elección es en realidad necesario.
Si estamos mencionando el axioma de elección, tal vez debería ser también señaló que el axioma de elección es de hecho equivalente a la afirmación "Todo espacio vectorial tiene una base".
Jean-François Corbett
Puntos
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Considerar $\Bbb R$ como un espacio del vector sobre el racional escalares $\Bbb Q$. Como se mencionó en la respuesta de Asaf, este espacio del vector tiene una base (por lo menos si aceptas el axioma de elección). Sin embargo un subconjunto contable de $\Bbb R$ dará lugar a solamente contable muchas combinaciones lineales con coeficientes racionales; por lo tanto necesitamos un conjunto de innumerables para formar una base.
