Hace unos días, me di cuenta de una similitud entre la distancia con aceleración constante, $d = v_i t + 1/2 a t^2$, y la suma de enteros hasta n, $(n^2 + n)/2$. Esto volvió a surgir hoy cuando decidí trabajar en algunas fórmulas para la distancia y la velocidad con aceleración constante actualizada en intervalos discretos, como sucede en las simulaciones de física que he programado.
Incremento discretamente $v$ y $x$ con aceleración constante, $v_i = 0$
- Agrega $a\mathrm{d}t$ a $v$ en cada tick
- Agrega $v\mathrm{d}t$ a $x$ en cada tick
$$\begin{align} v_f &= a\mathrm{d}t + a\mathrm{d}t + a\mathrm{d}t + \cdots \\ x_f &= v_1\mathrm{d}t + v_2\mathrm{d}t + v_3\mathrm{d}t + \cdots \\ v_2 &= (a\mathrm{d}t) + (a\mathrm{d}t) = 2(a\mathrm{d}t) \\ v_n &= n(a\mathrm{d}t) \\ x_f &= (a\mathrm{d}t)\mathrm{d}t + 2(a\mathrm{d}t)\mathrm{d}t + 3(a\mathrm{d}t)\mathrm{d}t + \cdots \\ x_n &= \sum_{i=0}^{n}i(a\mathrm{d}t)\mathrm{d}t = \frac{n^2 + n}{2}(a\mathrm{d}t)\mathrm{d}t \\ n &= \left\lfloor\frac{t_\text{total}}{\mathrm{d}t}\right\rfloor \\ x_f &= \frac{1}{2}\Biggl[\biggl(\frac{t_\text{total}}{\mathrm{d}t}\biggr)^2 + \frac{t_\text{total}}{\mathrm{d}t}\Biggr](a\mathrm{d}t^2) = \biggl(\frac{t_\text{total}^2}{2\mathrm{d}t^2} + \frac{t_\text{total}}{2\mathrm{d}t}\biggr)(a\mathrm{d}t^2) \\ x_f &= a\mathrm{d}t^2\times\frac{1}{2}\times\frac{t_\text{total}^2}{\mathrm{d}t^2} + \frac{1}{2}a\mathrm{d}t\frac{t_\text{total}}{\mathrm{d}t} \\ x_f &= \frac{1}{2}at_\text{total}^2 + a\mathrm{d}t\frac{t_\text{total}}{2} \\ \lim_{\mathrm{d}t\to 0} &= \frac{1}{2}at^2 = \text{normal ecuación $v_f$ donde $v_i = 0$ y $\Delta a = 0$} \end{align}$$
Me gustaría saber qué relaciones con la teoría tiene esto o una idea similar, si es que tiene alguna, y si toca algún otro tema.
