Dejemos que $G$ sea un grupo finito (no necesariamente abeliano). Sea $d \mid |G|$ , donde $d \in \mathbb{N}$ . ¿Existe al menos $d$ soluciones a la ecuación $x^d = 1_G$ para $x \in G$ ?
Puedo demostrarlo para grupos abelianos (No es difícil).
¿Es cierto para todos los grupos? Si no es así, por favor, dé un contraejemplo.
Este es el teorema de Frobenius.
Supongamos que $G$ es un grupo finito tal que $d$ divide $|G|$ . Entonces el número de soluciones de $x^d = 1$ es un múltiplo de $d$ .
Dado que la identidad es siempre una solución, existen al menos $d$ soluciones. Esto es cierto para todos los grupos finitos, pero no es muy fácil de demostrar.
Una prueba de ello se encuentra en el siguiente artículo del mes:
I. M. Isaacs, G. R. Robinson, Sobre un teorema de Frobenius: soluciones de $x^n = 1$ en grupos finitos , Amer. Math. Monthly, Vol. 99, No. 4, 352-354, (1992).
El teorema se puede generalizar de muchas maneras diferentes. En el libro de teoría de grupos de Marshall Hall se ofrece una prueba de la siguiente generalización:
Dejemos que $G$ sea un grupo finito y $C$ una clase de conjugación de $G$ . El número de elementos $x$ tal que $x^n \in C$ es un múltiplo de $\gcd(n|C|, |G|)$ .
El teorema original se deduce del caso $C = \{1\}$ .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
