¿El centro del grupo fundamental del doble toro es trivial?

Question

Sé que el grupo fundamental del doble toro es $ \pi_1 (M)= \langle a,b,c,d;a^{-1}b^{-1}abc^{-1}d^{-1}cd \rangle $ .

¿Cómo puedo calcular su subgrupo central $C$ ? Es $C$ trivial?

Deje que $p$ ser el mapa de cociente de $ \pi_1 (M)$ a $H_1(M)$ tal vez sea fácil probar que $p(C)$ es $0$ en $H_1(M).$ Eso también resolverá mi problema.

Gracias, Yan.

Answer 1

Quiero ampliar el comentario de Derek Holt, porque es interesante. También quiero añadir una pequeña pepita mía.

Ambas ideas se generalizan al toro de género $n$ , $n>1$ .

En primer lugar, observe que su grupo tiene una única relación de definición. Hay un artículo de G. Baumslag y Taylor que da un algoritmo para determinar el centro de un grupo con una sola relación definitoria ( El centro de los grupos con un relator definitorio ). Esa fue la pepita de mi... ( EDITAR: en realidad, no es necesario ir tan lejos como este documento - se deduce inmediatamente del hecho de que $G$ es generada por más de dos elementos y del Teorema 5.4 en la p203 del buen texto de Lyndon y Schupp Teoría de grupos combinatorios . Este teorema dice que para $M=\langle a, b, \ldots, c\rangle$ donde $G=\langle X; R\rangle$ es un grupo de un solo relator, $a, b, \ldots, c\subsetneq X$ , entonces si $g\not\in M$ entonces $M^g\cap M$ es cíclico (en realidad, es trivial, pero no entraré en eso aquí...).

Quiero ampliar el comentario de Derek Holt, pero ciñéndome al hecho de que su grupo tiene una única relación definitoria. Así que, abre el buen texto de Lyndon y Schupp Teoría de grupos combinatorios . En él, descubrimos dos cosas. En primer lugar, porque el relator no es un poder propio (es decir, no es de la forma $R^m$ para algunos $m>1$ ) nuestro grupo es libre de torsión. En segundo lugar, nos enteramos de un teorema muy interesante: El teorema ortográfico de B. B. Newmann. (Un teorema ortográfico es un teorema que nos dice la forma de una palabra que es (no libre) igual a la identidad en el grupo).

En Lyndon y Schupp, el teorema es, si no recuerdo mal, un poco más débil de lo que necesito... la versión que necesito es una adición de un tipo llamado Gurevich, y se puede encontrar en un artículo de Steve Pride y Jim Howie, Un teorema de deletreo para complejos 2 generalizados escalonados, con aplicaciones . Estoy seguro de que podríamos hacer esto de una manera más sencilla (podemos - ver el apéndice), ¡pero me gusta bastante este teorema!

En lenguaje moderno, la versión original del Teorema de la Ortografía de B. B. Newmann nos dice que un grupo de un relator con torsión (es decir, el relator es una potencia propia) es hiperbólico en el sentido de Gromov (véase, por ejemplo, el libro de Bridson y Haelfinger - escriba sus nombres en google y encontrará el libro. Alternativamente, hay un montón de buenas introducciones a los grupos hiperbólicos - hay una de Jim Howie Me gusta bastante). Lo que hay que destacar de los grupos hiperbólicos es que no contienen una copia de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ (de hecho, no contienen ningún subgrupo de la forma $\langle a, b; a^{-1}b^ma=b^n\rangle$ , un grupo llamado Baumslag-Solitar. Esto es en Bridson y Haefinger).

Para nuestros usos, el teorema ortográfico de Newmann-Gurevich nos dice que el grupo que está viendo es hiperbólico. Aquí está,

Teorema: (B. B. Newman, Gurevich)

Dejemos que $G=\langle X; R^m\rangle$ donde $R$ es una palabra libre y cíclicamente reducida sobre $X^{\pm}$ . Si $W=_G 1$ entonces $W\equiv 1$ , $W$ es un desplazamiento cíclico de $R$ o $R^{-1}$ o algún desplazamiento cíclico de $W$ contiene dos subpalabras disjuntas $S^{m-1}S_0$ y $T^{m-1}T_0$ donde $S$ y $T$ son desplazamientos cíclicos de $R$ o $R^{-1}$ y $S=S_0S_1$ $T=T_0T_1$ con $S_0$ y $T_0$ que contiene todos los elementos de $X$ que aparecen en $R$ .

Para nosotros $G=\langle a, b, c, d; [a, b][c, d]\rangle$ y, por tanto, sólo podemos pensar en el $S_0$ y $T_0$ . Sin embargo, esto es suficiente. Si $W=_G1$ entonces $W$ contiene $a^{-1}b^{-1}abc^{-1}d^{-1}$ o algo similar. Es decir, contiene "la mayor parte" del relator. Por lo tanto, podemos sustituir la parte grande del relator por la parte más pequeña, para obtener una nueva palabra $W_1=_G1$ . Como $W_1=_G1$ podemos aplicar el teorema de nuevo y aplicar este truco para obtener una nueva palabra $W_2$ con $|W_1|>|W_2|$ y se repite hasta obtener una palabra que sea la palabra trivial o el relator $R=[a, b][c, d]$ . Este algoritmo se llama algoritmo de Dehn, e implica que nuestro grupo es hiperbólico (de hecho, es equivalente - busque una de las referencias hiperbólicas para esto).

Así, $G$ es libre de torsión e hiperbólica. Como es hiperbólica no puede contener $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ . Al estar libre de torsión y no contener $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ no puede tener un centro.

Ahora, escribí todo esto por dos razones. En primer lugar, fue una buena procrastinación. En segundo lugar, los grupos que estás viendo eran los grupos hiperbólicos "originales". Verás, en algún momento, alrededor de 1910-1920, Max Dehn ideó una versión del teorema ortográfico de B.B. Newman que funcionaba para estos grupos, y aplicó este algoritmo que lleva su nombre (el teorema ortográfico de B.B. Newman es básicamente una generalización de la observación de Dehn). No fue hasta la llegada de Gromov, en la década de 1980, cuando se entendió por fin lo que ocurría con el algoritmo de Dehn y estos grupos de superficie, y se introdujo el campo de los grupos hiperbólicos. El estudio de los grupos hiperbólicos ha resultado ser un campo bastante fructífero y ha dado lugar a muchos resultados importantes, el más reciente de los cuales es la demostración de la conjetura de Haken virtual y la conjetura de Thurston sobre la virtualidad de la fibra.

Adenda: Cuando utilizaba la versión fuerte del Teorema ortográfico de Newman tenía la sensación de que era demasiado; que no teníamos que salir de las páginas de Lyndon y Schupp y adentrarnos en el mundo de los trabajos de investigación... ¡y tenía razón! Los grupos que estamos viendo (siempre que el género $>1$ ) son $C^{\prime}(1/6)$ pequeños grupos de cancelación. La referencia estándar para tales grupos es... ¡Lyndon y Schupp! Básicamente, entre Dehn y Gromov existía una clase de grupos llamados de "pequeña cancelación" que también explotaban el algoritmo de Dehn (hoy son los ejemplos estándar de grupos hiperbólicos). (Vale, eso no es del todo correcto - hay muchos sabores diferentes de grupos de pequeña cancelación, y sólo los de pequeña cancelación métrica son siempre hiperbólicos - el $C^{\prime}(1/\lambda)$ los, $\lambda \geq 6$ .)

La teoría de las pequeñas cancelaciones habla de cosas llamadas piezas . Toma todos los relatores de tu presentación y sus inversos, e intenta colocar un relator encima de otro (los extremos no tienen que estar "en línea"). Cualquier lugar en el que coincidan los dos relatores se llama pieza. (En la teoría de las cancelaciones pequeñas pensamos en los relatores como "baldosas" y las piezas están donde las baldosas pueden conectarse entre sí).

Si cada pieza tiene una longitud inferior a $1/6$ del relator del que forma parte entonces la presentación satisface el $C^{\prime}(1/6)$ pequeña condición de cancelación.

Deberíais daros cuenta de que con vuestros grupos cada pieza tiene una longitud $1$ para que su grupo satisfaga $C^{\prime}(1/7)$ (en general, $C^{\prime}(1/(4g-1))$ ).

Así, $G$ ¡es hiperbólico y hemos terminado!

Answer 2

Utilizando grupos marcados el grupo fundamental $G$ del doble toro es un grupo límite no abeliano (se puede encontrar un morfismo de $G$ a $\mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}$ demostrando que $[a,c] \neq 1$ ) y así $G$ tiene la misma teoría universal que un grupo libre no abeliano. Deducimos que $\forall x,y \left( x=1 \vee y=1 \vee [x,y]\neq 1 \right) \in \text{Th}_{\forall}(G)$ Es decir $Z(G)$ es trivial.

Además, se puede decir que porque $G$ es un grupo límite, es conmutativo transitivo. Por lo tanto, o bien $Z(G)$ es un trivial o $G$ es abeliana.

Sin utilizar grupos marcados, observe que $G$ es un grupo de palabras comprimido $\mathbb{F}_2 \underset{\langle w \rangle}{\ast} \mathbb{F}_2$ donde $w=[x,y]$ . Aquí se demuestra que un grupo de palabras comprimido es totalmente libre de residuos (proposición 2.9). Por lo tanto, si $g \in Z(G)$ y $x,y \in G$ tal que $[x,y] \neq 1$ existe un morfismo $\varphi$ de $G$ a un grupo libre tal que $\varphi(g),\varphi(x),\varphi(y),\varphi([x,y])\neq 1$ Suponiendo que $g \neq 1$ . Pero $[\varphi(g),\varphi(x)]=[\varphi(g),\varphi(y)]=1$ así que $\varphi([x,y])=[\varphi(x),\varphi(y)]=1$ (un grupo libre es claramente conmutativo transitivo). Esto es una contradicción, por lo que $Z(G)$ es trivial.