Tengo algunos problemas de comprensión de la prueba de la siguiente lema:
Lema: Vamos a $x \in X, \ \ \ U, W \in \mathcal{U}, \ \ \ \mathcal{T(U)}$ es la topología en $X$. Si no existe $V \in \mathcal{U}$ tal que $U \circ V \subset W$,$U[x] \subset intW[x]$$\overline{U[x]} \subset W[x]$.
$\mathcal{U}$ es una estructura uniforme en $X$
$\mathcal{U} \subset 2^{X \times X}$ es una estructura uniforme en $X$. Se trata de un filtro en $X \times X$ la satisfacción de:
$(1) \ \forall U \in \mathcal{U}: \Delta(X) \subset U, \\ (2) \ \forall U \in \mathcal{U}: \ U^{-1} \in U, \\(3) \ U \in \mathcal{U} \Rightarrow \exists V \in \mathcal{U} : \ V \circ V \subset U $.
$U[x] = \{ y \in X \ | \ (x,y) \in U\} $
Si $\mathcal{B}$ es una base de $\mathcal{U} \ \ \ \ $ ($ \ \forall U \in \mathcal{U} \ \exists B \in \mathcal{B} : \ B \subset U \ $),
a continuación, $ \mathcal{B_x}: = \{U[x] \ | \ U \in \mathcal{B}\}$ satisface todas las condiciones de base para el barrio de sistema de $x \in X$ $\mathcal{T(U)}$ mencionado anteriormente es una topología para que $ \mathcal\{{B_x}\}_{x \in X}$ es una base para el barrio del sistema en esta topología.
Espero que mi pregunta es clara ahora.
Me podrían ayudar a entender la prueba de este lema?
Mi problema es que no tengo una imagen clara de lo que int$W[x]$ o $ \overline{U[x]}$ debe ser.
He aquí la prueba:
Deje $y \in U[x], \ z \in V[y]$. A continuación,$(x,z) \in U \circ V$, lo $(x,z) \in W$. Por lo tanto $U[x] \subset intW[x]$.
Deje $y \in \overline{U[x]}$. A continuación,$\forall Z \in \mathcal{U} \ \ \exists x_Z \in U[x] \cap Z[y]$, lo que significa que $(x, x_Z) \in U, \ (y, x_Z) \in Z$.
Elegimos $Z$ tal que $Z = Z^{-1}$$Z \subset V$. A continuación,$(x,y) \in U \circ Z \subset W$.
