Prueba ese cubo tiene 24 simetrías rotacionales

Question

Yo estaba haciendo una combinatoria problema que los estados de esta definición de simetría: para un subconjunto $S$ $\mathbb{R}^3$ una simetría es "rígido en movimiento" $f:\mathbb{R^3}\rightarrow \mathbb{R^3}$ de manera tal que cualquier $x\in S$ tiene su imagen $f(x)$ también en S. (Para dar un poco de forraje para el problema, el autor dumbs hacia abajo para mí que una simetría alguna operación que deja a $S$ en el mismo lugar, aunque los puntos individuales pueden ser reordenadas)

A partir de esta definición de trabajo que se le pide encontrar el número de simetrías de rotación del cubo. Hasta el momento he visto dos argumentos diferentes y yo todavía no sé porque el dibujo en el papel es llegar a confundir. También mi solución fue incorrecta y no sé dónde me contados.

Ignorar mi método.Dibujo 4 ejes perpendiculares con las caras, cada una con 4 simetrías de rotación $(0^\circ,90^\circ,180^\circ,270^\circ)$ y me sale $4\times 4 =16$ simetrías. Además de las cuatro cuerpo diagonales$=20$. Esta es equivocado y que la respuesta es $24$.

El libro da el corto solución: "mover cualquier vértice a cualquier otro y gire los bordes que conduce a la de tres maneras". No lo entiendo. Hay 8 vértices, y 3 maneras de qué?

I google y conseguir otro argumento de la wikipedia: "El grupo de orientación de la preservación de simetrías es S4, o el grupo de permutaciones de cuatro objetos, ya que no es exactamente un ejemplo de la simetría para cada permutación de los cuatro pares de lados opuestos del octaedro." De hecho, $4!=24$ pero no puedo convencerme de que todas las permutaciones de los pares de lados opuestos es todas las simetrías no puede ser (yo claramente omitidas cuando tengo 16 años y todavía no tienen visión de por qué, así que esto no me ayuda como no sé, seguro que hay no puede ser más)

Mi imaginación y habilidades de visualización son muy débiles. Es un software en línea que me permiten visualizar y jugar con un etiquetado cubo?

Answer 1

El punto del comentario en el libro es la siguiente: dado un cubo, escoge a una esquina y llamar a $A$. Ciertamente, puede girar el cubo para que $A$ está quieto o se mueve a cualquier otra esquina, de los cuales hay 7. Entonces usted tiene 8 opciones para la que desea $A$.

Una vez que hayas hecho esto, las otras esquinas son, obviamente, no es libre para moverse como quieren. Deje $B$ ser algún rincón adyacente a $A$, lo que significa que comparte una arista del cubo con $A$. Si Una se mueve a $A'$, $B$ debe mover a algún rincón adyacente a $A'$ - de lo contrario el borde de la $AB$ se distorsiona. Cuántos ángulos son adyacentes a $A'$? Que es donde el 3 viene.

Finalmente, usted tendrá que convencerse de que una vez $A$ $B$ han sido colocados, todas las otras esquinas son "obligados" - su ubicación final ya está arreglado. Vea si usted puede hacer esto usando las relaciones de adyacencia, compartiendo una cara etc.

Answer 2

Un cubo tiene 12 aristas, por lo que tiene bordes orientados a 24 (cada arista se puede orientar en exactamente dos maneras) es bastante obvio, si tienes un cubo para jugar con el, que el grupo $G$ de rotaciones actúa simplemente transitoriamente en estos bordes orientied. Por lo tanto $G$ tiene 24 elementos.

Exactamente el mismo argumento cuenta el número de simetrías rotacionales de cada poliedro regular, por supuesto.

Answer 3

Contando las orientaciones posibles del cubo sabemos que hay 24 simetrías de rotación, mediante la consideración de caras, aristas o esquinas y su respectivo número de orientaciones, dando 6 * 4 = 12 * 2 = 8 * 3 = 24.

Parece que usted también desea explícitamente saber las rotaciones, en lugar de simplemente contar las simetrías de rotación. Las rotaciones son:

• 1 identidad de rotación que no hace nada.

• 9 rotaciones alrededor de los ejes por medio de uno de los 3 pares de caras opuestas, con rotaciones de 90°, 180° y 270°.

• 6 rotaciones alrededor de los ejes a través de los medio de uno de los 6 pares de bordes opuestos, con una rotación de 180°.

• 8 rotaciones alrededor de los ejes a través de uno de los 4 pares de esquinas opuestas, con rotaciones de 120° y 240°.

Answer 4

Los tres rotaciones alrededor de una esquina/diagonal larga puede ser muy difícil de visualizar. El conde, que es más intuitiva para mí es que, con el cubo en la mesa frente a mí se me puede colocar cualquiera de las seis caras en la tabla, a continuación, elija cualquiera de los cuatro caras para estar frente a mí.

Sin embargo, es útil para trabajar en la más difícil de visualizar las perspectivas de un simple ejemplo de como este donde la respuesta es clara, porque entonces la intuición de afilado para situaciones más complejas.

Otra manera de ver esto, que es más complejo, es analizar lo que sucede a los dos tetraedros que se han formado por la selección alternativa de los vértices del cubo, o para el conjunto de largo de las diagonales del cubo.

Answer 5

"El dibujo 4 ejes perpendiculares con las caras, cada una con 4 simetrías de rotación (0∘,90∘,180∘,270∘) y tengo 4×4=16 simetrías"

El cubo tiene 6 caras, de modo 6 ejes, y da $6\cdot 4 = 24$ según sea necesario. (Lo siento, este parecía como algo que sólo vale la pena un comentario, pero no veo donde comentar... podría no tengo suficiente rep para hacerlo todavía? O eso, o yo estoy ciego :) )

Edit: Si desea visualizar los objetos, y ver diferentes tipos de simetrías, puede ser útil dar a cada vértice un nombre (para para el cubo, a,b,c,d,e,f,g,h podrían ser sus vértices). Esto va a ser más fácil que mirar a un objeto único e imaginar la rotación.