Problema de cálculo divertido puede ' t parece resolver

Question

Recientemente he cogido un libro de matemáticas no he leído desde la universidad (muy recomendable la lectura por el camino!). Yo estaba revisando multi-dimensional derivados y tal, y me topé con un problema que he estado tratando de resolver durante dos días, y yo no puedo sacarlo de mi cabeza, así que por favor, ayúdenme! = )

Problema (de la memoria):

Hay un conejo que se ejecuta en un perfecto círculo de radio $r$ con una velocidad constante $v$. Un zorro persigue al conejo, a partir del centro del círculo y también se mueve con una velocidad constante $v$ que siempre está entre el centro del círculo y el conejo. ¿Cuánto tiempo tomará para que la fox para atrapar al conejo?

He intentado utilizar el hecho de que $|x'(t)| = |y'(t)| = v$ donde $x(t)$ es de la fox posición y $y(t)$ es el conejo de la posición, y que $x'(t)x''(t) = 0$ debido a la constante de velocidad de restricción, pero todavía estoy a falta de encontrar una solución.

Que alguien se sienta como atacar a este?

Answer 1

Suponiendo que un smart fox (y no todos), el cálculo no es necesario. Si el zorro se prevé el conejo de la ruta, y tomó el camino más corto, entonces se tiene que viajar una distancia r. Con velocidad v, el tiempo es simplemente r/v. (I. e., el zorro puede viajar en una línea recta desde el centro del círculo hasta el punto en el círculo, el conejo será cuando llegue allí.)

Editar para agregar: tenga en cuenta que esto no resuelve el solicitado problema debido a que la fox no va a estar siempre entre el conejo y el centro del círculo, como se requiere.

Answer 2

Para este problema es aconsejable introducir coordenadas polares ( $r$ $\phi$ ). El conejo corre a la velocidad de la $v$ en un perfecto círculo con un radio de $R$. Por lo tanto, $\phi =vt/R$. Como el zorro estancias entre el centro y el conejo, que es al mismo $\phi$. El zorro de la velocidad (que es constante) tiene dos componentes (primer denota la derivada con respecto al tiempo) $$ v = \sqrt{r'^2+ r^2 \phi'^2}.$$ A partir del conocimiento de $\phi'= v/R$ y el hecho de que $v$ es constante, podemos deducir $$r' = v\sqrt{1 - \frac{r^2}{R^2}}.$$ Esta ecuación diferencial se puede resolver por separación de variables. El tiempo de $T$ que se necesita para alcanzar el conejo está dada por $$T=\int_0^R \frac{dr}{v \sqrt{1 - \frac{r^2}{R^2}}} = \frac{\pi R}{2v}.$$ (la última integral se ha de resolver por sustitución de $r=R \sin\phi$)

Answer 3

Sugerencia: el conejo se mueve a velocidad angular constante de $\frac{v}{r}$. Si sea radio de fox R, tenemos que $(R')^2+(\frac{Rv}{r})^2=v^2$, descomponiendo la velocidad de la fox en pedazos radiales y tangenciales.

Answer 4

Es más fácil de resolver el problema con coordenadas polares. WLOG podemos establecer$r=1$, de modo que el conejo de ángulo en el tiempo $t$$vt$. Todo lo que se puede aplicar el zoom para diferentes valores de $r$. Si dejamos $r(t)$ ser la distancia entre el zorro y el centro del círculo en el tiempo $t$, su $(r,\theta)$ la posición en el momento $t$$(r(t),vt)$, que en $(x,y)$ coordenadas es $(r(t)\cos(vt),r(t)\sin(t))$. El vector de velocidad es, a continuación,$r'(t)(\cos(vt),\sin(vt))+vr(t)(\sin(vt),-\cos(vt))$, y por tanto, si la velocidad es $v$, entonces tenemos que tener en $v^2=r'(t)^2+v^2r(t)^2$ o $r'=v\sqrt{1-r^2}$.

La solución a esta ecuación diferencial, sujeto a la condición inicial que $r(0)=0$$r(t)=\sin(vt)$, que toma el valor de $1$ al $vt=\pi/2$, y así el zorro atrapar al conejo cuando el conejo es un cuarto del camino alrededor del círculo.