Los splines cúbicos naturales definición de regresión

Question

Estoy aprendiendo sobre los splines de el libro "Los Elementos de Aprendizaje estadístico de la Minería de Datos, Inferencia y Predicción" por Hastie et al. He encontrado en la página 145 que los Naturales de splines cúbicos son lineales, más allá del límite de los nudos. Hay $K$ nudos, $\xi_1, \xi_2, ... \xi_K$ en las estrías y la siguiente se da acerca de un spline en el libro.

Pregunta 1: ¿Cómo son los 4 grados de libertad liberado? No entiendo esta parte.

Pregunta 2: En la definición de $d_k(X)$ al$k=K$$d_K(X) = \frac 0 0$. ¿Cuál es el autor tratando de hacer en esta fórmula? ¿Cómo ayuda esto a asegurarse de que splines lineales más allá de los límites de los nudos?

Answer 1

1. Vamos a empezar por considerar ordinario splines cúbicos. Son cúbicos entre cada par de nudos y cúbicos fuera de los límites de los nudos. Empezamos con 4df por primera cúbicos (a la izquierda de la primera frontera nudo), y cada nudo se añade un nuevo parámetro (debido a la continuidad de splines cúbicos, y los instrumentos derivados y las segundas derivadas añade tres restricciones, dejando un parámetro libre), haciendo un total de $K+4$ parámetros para $K$ nudos.

   Un natural de interpolación cúbica es lineal en ambos extremos. Este hecho limita el cúbicos y cuadrática partes a 0, cada una reducción del df por 1. Las 2 de la df en cada uno de los dos extremos de la curva, la reducción de la $K+4$$K$.

   Imagine que usted decide que usted puede pasar algún número total de grados de libertad ($p$, por ejemplo) en su no-paramétricas de la curva de estimación. Desde la imposición de un spline natural utiliza menos 4 grados de libertad ordinarios de un spline cúbico (para el mismo número de nudos), con los $p$ parámetros que se pueden tener 4 más nudos (y 4 más parámetros) para el modelo de la curva entre el límite de los nudos.

2. Tenga en cuenta que la definición de $N_{k+2}$ $k=1,2,...,K-2$ (ya que hay que $K$ funciones de base en todos). Para la última función de base en la lista, $N_{K}=d_{K-2}-d_{K-1}$. Así que el mayor $k$ necesario para las definiciones de $d_k$$k=K-1$. (Es decir, no tenemos que tratar de averiguar lo que algunos $d_K$ podría hacer, ya que no uso).