Mi texto dice que $p^3q^6$ tiene 28 divisores. ¿Podría alguien explicarme cómo han conseguido 28 aquí? Editar: $p$ y $q$ son números primos distintos Perdón por la adición tardía..
Tomemos $p=3$ y $q=2$ como ejemplo. Entonces el número es $3^32^6 = 1728$ y los 28 divisores de 1728 son:
$$\begin{matrix} 1&2&4&8&16&32&64 \\ 3&6&12&24&48&96&192 \\ 9 & 18 & 36 & 72 & 144 & 288 & 576 \\ 27 & 54 & 108 & 216 & 432 & 864 & 1728 \end{matrix}$$
Estos valores son, respectivamente:
$$\begin{matrix} 2^03^0 & 2^13^0 & 2^23^0 & 2^33^0 & 2^43^0 & 2^53^0 & 2^63^0 \\ 2^03^1 & 2^13^1 & 2^23^1 & 2^33^1 & 2^43^1 & 2^53^1 & 2^63^1 & \\ 2^03^2 & 2^13^2 & 2^23^2 & 2^33^2 & 2^43^2 & 2^53^2 & 2^63^2 & \\ 2^03^3 & 2^13^3 & 2^23^3 & 2^33^3 & 2^43^3 & 2^53^3 & 2^63^3 \end{matrix}$$
De hecho, esta es la afirmación general: si $$n=\prod_k p_k^{a_k}$$ es la factorización primaria de $n$ entonces $$\sigma_0(n)=\prod_k (a_k+1)$$
+1 En la medida en que importa, me gusta este tipo de respuesta. Un ejemplo concreto, presentado con claridad, que lo dice todo.
Eso se deduce del teorema fundamental de la aritmética ¿no? es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_de_la_aritmética
Cualquier número $A$ es el producto de un conjunto único de primos. si $A=P_1^{k_1}*P_2^{k_2}*....P_n^{k_n}$ entonces un divisor de A debe ser de la forma $P_1^{m_1}*P_2^{m_2}*....P_n^{m_n}$ donde $m_i\leq k_i$ para cualquier $i\in \Bbb N \wedge i\leq n$
¿Cuántas combinaciones de canicas puedes hacer si puedes elegir entre 3 canicas blancas y 6 negras? si eliges 0 blancas hay 7 combinaciones. (0 negras+0 blancas = 1). si eliges 1 blanca también hay 7 probablemente puedes ver que hay $4*7$ combinaciones.
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@Michael - ¿Cuál es tu punto?
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Por lo general, una pregunta que merece ser respondida merece ser votada. Parece que la gente a menudo descuida eso.
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@Michael: Me interesaría conocer tu razonamiento sobre "Normalmente, una pregunta que merece la pena ser contestada merece ser votada".
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Un upvote, para mí, indica que la pregunta aumenta significativamente el valor del recurso. En mi opinión, esta pregunta no llega a ese nivel. Es lo suficientemente buena como para responderla, pero no lo suficientemente buena como para darle un upvote.
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number.subwiki.org/wiki/Función de recuento de divisores y artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/
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@GerryMyerson : Que el mismo problema combinatorio puede aparecer en varias formas vale la pena tenerlo aquí.