Aquí hay algunos consejos sobre el análisis de auto-estudio*. Gran parte es aplicable al estudio independiente de las matemáticas puras en general.
1) No importa qué parte de las matemáticas estés tratando de aprender, mucho de lo que aprenderás, especialmente al principio, es cómo leer un texto de matemáticas. Esta es realmente una habilidad no trivial. No puedes leer un texto de matemáticas como una novela, es decir, volteando la página cada uno o dos minutos y concentrándote más en la emoción del viaje y el drama del destino final que en los detalles página por página. (Hay que admitir que hay algunas novelas que no se pueden leer como una novela, pero no importa que...) La mayoría de los estudiantes independientes se dan cuenta de esto muy rápidamente y luego se ven tentados a intentar el otro extremo: es decir, insistir en no pasar a la siguiente página hasta que la página actual sea completamente entendida. Esta es también una mala estrategia: es extremadamente ineficiente y causará una frustración innecesaria, ya que está en la naturaleza de la lectura cualquier cosa que a menudo leer un poco más lejos puede tener un efecto clarificador. (Como matemático de investigación profesional yo (¡independientemente!) leo muchas matemáticas, y a veces todavía me ocurre que me atasco en una frase en particular por un tiempo, sin entender cómo verificar la afirmación que hace. A veces esta explicación viene en la siguiente frase, el siguiente párrafo o la siguiente página. Eso es mala escritura, pero casi todos los escritores lo hacen de vez en cuando, creo.)
En cambio, necesitas encontrar el máximo interior: es decir, el equilibrio correcto entre leer adelante y luego sumergirse atrás. Creo que esto debe ser diferente para cada uno, pero sólo mencionaré una buena estrategia: si te saltas algo, es bueno fijarlo en tu propia mente y ni siquiera escribirlo podría hacer daño lo que es que te estás saltando. Por ejemplo, tal vez no quieras leer la prueba de dos páginas del Teorema X.Y en este momento. Así que sigues leyendo para ver si es razonable tomar esa prueba como una "caja negra". A veces lo es y a veces no.
Por cierto, estoy llegando a creer que "máximo interior" es una buena máxima para repetir a los estudiantes de matemáticas. Nosotros los matemáticos tendemos a ser muy idealistas y queremos llegar a los extremos, y al igual que en el cálculo esto no suele ser óptimo. En su pregunta, por ejemplo, usted dice que "trata de resolver todos y cada uno de los problemas". Eso puede ser demasiado: depende de cuánto tiempo le dediques. Cuando lees y aprendes de forma independiente, necesitas encontrar un equilibrio entre ser realmente independiente y resolver las cosas por ti mismo y no pasar una cantidad excesiva de tiempo en algún punto en el que sepas que puedes buscar la respuesta si así lo deseas.
2) Si descubres que puedes resolver la mayoría de los problemas en un tiempo razonable, eso me suena genial y tal vez sólo necesites ser más feliz contigo mismo y con tu progreso. También es muy positivo que estés resolviendo problemas para los que puedes buscar las soluciones cuando lo necesites (y también que parezcas tener suficiente disciplina para no mirar la solución después de 5 minutos; eso es un gran problema con el estudio independiente).
En cuanto a las soluciones escritas de los problemas, he aquí un sucio secreto: cuando se incluyen en absoluto, rara vez se escriben con algo como el cuidado con que se escribe el texto mismo. (Para los libros de texto convencionales, a menudo hay una "guía de soluciones para el estudiante" separada y a menudo esta no fue preparada principalmente por el autor del texto). Para los libros de Spivak Cálculo por ejemplo, estoy muy familiarizado con el libro de respuestas de la calificación de tiempo y luego la enseñanza de cursos fuera de este texto. Cuando más de un estudiante entregaba una solución esencialmente correcta pero innecesariamente excéntrica, yo buscaba en el libro de respuestas y a menudo encontraba la solución allí. También se da el caso de que la mayoría de los problemas tienen más de una solución, y si tienes la tarea de escribir soluciones para cientos de problemas, entonces como puedes imaginarte puedes optimizar para la solución más corta o simplemente la primera que se te ocurra en lugar de la(s) que te parezca más instructiva.
Como ejemplo, me parece que el problema que mencionas sobre $x_n \rightarrow L \neq 0$ , $x_n y_n \rightarrow M \implies y_n \rightarrow \frac {M}{L}$ tiene una solución bastante sencilla: establecemos, si no lo hemos hecho antes, que $ \frac {1}{x_n} \rightarrow \frac {1}{L}$ y luego usar el hecho de que el límite del producto es el producto de los límites.
3) Aquí hay otro consejo para el estudiante independiente: trata de tener al menos un texto de respaldo para consultar si no te gusta la exposición en tu texto principal. Algunos textos dejan cosas muy básicas para el lector como ejercicios. Hay una filosofía detrás de esto, pero realmente no estoy de acuerdo con ella: Creo que el estudiante de una materia merece ver pruebas completas de los hechos básicos. Rellenar algunos de ellos de forma independiente podría ser instructivo si el estudiante tiene éxito, pero ¿qué pasa si fracasan o simplemente se desaniman? Tener ejercicios para que el estudiante los resuelva es muy bueno, pero en la mayoría de las asignaturas de matemáticas hay esencialmente infinitos ejercicios para asignar en cualquier nivel. Me parece un poco perezoso asignar pruebas de los teoremas establecidos como ejercicios. Aquí es donde es ventajoso tener múltiples textos: lo que se afirma como un ejercicio en uno puede ser probado en otro.
Tal vez para esto ayuda tener una fuente que puedes estar bastante seguro que incluirá pruebas de todas las cosas básicas, cualquiera que sean sus otros méritos. Para un análisis real elemental, podría sugerir estas notas de conferencias mías en el que generalmente se adopta un enfoque de "más es más" para la prueba.
*: Aunque es un término muy estándar en este sitio y entiendo lo que significa -- uno no está tomando un curso o siendo guiado expresamente por un practicante experimentado -- el término "auto-estudio" nunca me ha sentado particularmente bien. Lo tolero, pero el término relacionado "auto-aprendizaje" me hace querer desdichar: ¿qué otro tipo de aprendizaje hay? De todos modos, tal vez estudio sin asistencia o estudio independiente son mejores términos aquí.
