¿Espacio finito dimensional naturalmente isomorfo a su doble dual?

Question

El ejemplo de que un espacio vectorial finito es naturalmente isomorfo a su dual doble parece ser el ejemplo canónico de isomorfismos naturales.

Concretamente, hay dos functores $\mathsf{Id}, {-^*}^* : \mathsf{FDVect} \to \mathsf{FDVect}$ que representan el funtor identidad y el funtor doble dual, y se puede construir una transformación natural $\alpha : \mathsf{Id} \Rightarrow {-^*}^*$ como sigue: $$ \alpha_V(v)(f) = f(v)$$

Sin embargo, para demostrar que $\alpha$ es natural isomorfismo hay que encontrar una inversa $\alpha^{-1}$ .

Sé que cada $\alpha_V$ tiene una inversa, ya que los espacios vectoriales son de dimensión finita. También sé que si $\alpha$ es una transformación natural, entonces puedo construir una transformación natural inversa utilizando la función $\alpha_V^{-1}$ 's.

Sin embargo, el hecho de que $\alpha_V$ tiene un inverso $\alpha_V^{-1}$ no me parece muy "natural". Tuve que utilizar una base de $V$ para construir $\alpha_V^{-1}$ y la gente siempre dice que "elegir una base no es natural" (al menos esa es la razón por la que $V \cong V^*$ no es natural, ¿verdad?). A pesar de ello, sé que $\alpha^{-1}$ es natural.

¿Qué está pasando? ¿Estoy eligiendo un $\alpha^{-1}$ ? Elegir una base así para $\alpha_V^{-1}$ ¿es natural?

Answer 1

El hecho de que $\alpha_V$ tiene un inverso es, en efecto, menos natural. Como usted sabe, $\alpha_V$ es un natural bien definido incrustación también cuando $V$ es infinito dimensional, pero entonces no tiene un inverso por lo general. Esto implica que la construcción de la inversa tiene que ser algo menos elegante que la de $\alpha_V$ .

Sin embargo, elegir una base no significa necesariamente que la construcción no sea natural. Una cuestión muy importante es si la construcción depende de la elección o no. En nuestro caso, sin duda independiente de elección de base, ya que cualquier isomorfismo tiene un único inversa. Esto significa que, después de todo, la inversa es natural.

A modo de comparación, esto no ocurre cuando se construye un isomorfismo $V\to V^*$ . En este caso, el isomorfismo sí depende de la elección de la base.

Obsérvese que muchas construcciones naturales implican alguna elección, y entonces hay que demostrar que la elección no afecta al resultado. Un ejemplo sencillo es la propiedad universal del cociente. Tomemos como ejemplo los grupos abelianos. Supongamos que tenemos un homomorfismo $\varphi:A\to B$ tal que $\varphi(C)=0$ para algún subgrupo $C\subset A$ . Así que $\varphi$ induce un homomorfismo $\tilde{\varphi}:A/C\to B$ . ¿Cómo se construye este homomorfismo? Dado un elemento en el cociente $A/C$ hay que elija un representante en $A$ . Pero, por supuesto, la elección no cambia la imagen, por lo que esta construcción es universal.

Answer 2

No está obligado a exposición un inverso, sólo para demostrar existencia . Así, en el caso finito, donde el mapa siempre inyectivo al segundo dual es en realidad una biyección, por conteo de dimensiones, se puede demostrar existencia de una inversa sin elegir nada: dado $w$ en el segundo dual, hay un único $v\in V$ asignación a $w$ . "Definido" $\alpha^{-1}(w)=v$ .

Es cierto que definir "dimensión" implica demostrar que las cardinalidades de dos bases cualesquiera son iguales, ... pero es no siempre es necesario definir las cosas mediante una base y luego mostrarlas independientemente de la base.