Deje $\gamma>0$. Me gustaría una buena manera de demostrar que $$\int_{\begin{array}{c} 0\leq s,t\leq1\\ s+t\leq1 \end{array}}t^{\gamma-1}s^{\gamma-1}(1-t-s)^{\gamma-1}dtds=\frac{\Gamma(\gamma)^3}{\Gamma(3\gamma)}.$$
Editar/Comentario: zhoraster la respuesta junto con la inducción permite demostrar la generalización de la identidad a la hora de integrar más el simplex $$\int_{\begin{array}{c} 0\leq t_{i}\leq1\\ t_{1}+\cdots+t_{k}\leq1 \end{array}}t_{1}^{x_{1}-1}\cdots t_{k}^{x_{k}-1}\left(1-\sum_{i=1}^{k}t_{i}\right)^{x_{k+1}-1}dt_{1}\cdots dt_{k}=\frac{\Gamma(x_{1})\Gamma(x_{2})\cdots\Gamma(x_{k+1})}{\Gamma(x_{1}+\cdots+x_{k+1})} $$ para cualquier $0<x_i<1$
Esta integral se produjo mientras estaba leyendo a través de Balog y Friedlander el papel de Un Híbrido Teorema de Vinogradov y Piatetski-Shapiro. Deje $0<\gamma<1$, y deja$$P_{\gamma}=\left\{ p\ :\ p=\lfloor n^{1/\gamma}\rfloor\ \text{para algunos }n\right\} $$ be the set of Piatetski-Shapiro primes. While this set of primes is very sparse, it has many nice properties and it is known that a version of the Prime number theorem holds when $\gamma$ is not too small (see this paper of Heath-Brown) $$\sum_{\begin{array}{c} p\leq x\\ p\in P_{\gamma} \end{array}}1\sim\frac{x^{\gamma}}{\log x}. $$ In the paper of Balog and Friedlander, they prove that for $\gamma$ in some range close to $1$, we have $$\frac{1}{\gamma^{3}}\sum_{\begin{array}{c} p_{1}+p_{2}+p_{3}=N\\ p_{i}\in P_{\gamma} \end{array}}p_{1}^{1-\gamma}p_{2}^{1-\gamma}p_{3}^{1-\gamma}\registro p_{1}\log p_{2}\log p_{3}\sim\frac{1}{2}\mathfrak{S}(N)N^{2}, $$ donde $\mathfrak{S}(N)$ es una singular serie. Tenga en cuenta que esto implica que cada suficientemente grande número entero se puede escribir como la suma de tres Piatetski-Shapiro números primos, lo que demuestra una variante de Goldbach del Ternario conjetura suficiente para todos los enteros grandes. A partir de esto se deduce sin la prueba de que $$\sum_{\begin{array}{c} p_{1}+p_{2}+p_{3}=N\\ p_{i}\in P_{\gamma} \end{array}}1\sim\frac{1}{2}\frac{\mathfrak{S}(N)N^{3\gamma-1}}{\left(\log N\right)^{3}}\frac{\gamma^{3}\Gamma(\gamma)^{3}}{\Gamma(3\gamma)}.$$ Cuando solicité parcial suma, esta deducción reduce a la evaluación de la integral anterior escrito.
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Compruebe las indicaciones. t$ \int_{\substack {0\leq s, t\leq1\\ s + t\leq1}} ^ {\gamma-1} s ^ {\gamma-1} (1-t-s) ^ {\gamma-1} dt\, ds = \int_0^1 t ^ {\gamma-1} \int_0^ {1-t} s ^ {\gamma-1} (1-t-s) ^ {\gamma-1} ds\, dt \\ = \int_0^1 t ^ {\gamma-1}(1-t) ^ u \int_0^ {2\gamma 1} {1} ^ {\gamma-1}(1-u) ^ du\ {\gamma-1}, dt = B(\gamma,2\gamma)B(\gamma,\gamma) = \frac{\Gamma(2\gamma)\Gamma(\gamma)^3}{\Gamma(2\gamma)\Gamma(3\gamma)} = \frac{\Gamma (\gamma) ^ 3} {\Gamma (3\ gamma)}. $$
