Encuentre los valores de $n$ dar $\varphi(n) = 10$

Question

¿Para qué valores de $n$ ¿tenemos $\varphi(n) = 10$ ?

Aquí, $\varphi$ es la Función Totiente de Euler. Ahora, sólo con mirarlo, puedo ver que esto sucede cuando $n = 11$ . Además, mi amigo me dijo que esto sucede cuando $n = 22$ pero ambas son suposiciones afortunadas, o suposiciones educadas. En realidad no lo he calculado, y no sé si hay más.

¿Cómo podría responder a esta pregunta?

Answer 1

Supongamos que $\varphi(n)=10$ . Si $p \mid n$ es primo entonces $p-1$ divide $10$ . Así, $p$ es uno de $2,3,11$ .

Si $3 \mid n$ lo hace con multiplicidad $1$ . Pero entonces existiría $m \in \mathbb{N}$ tal que $\varphi(m)=5$ y esto lleva rápidamente a una contradicción (por ejemplo, nótese que tales valores son siempre pares).

Así, $n$ se ajusta a la forma $2^a\cdot 11^b$ y afirmamos que $b=1$ . Si $b>1$ tenemos $11 \mid \varphi(n)$ una contradicción. También, $b=0$ da $\varphi(n)$ un poder de $2$ . Así, $n=2^a \cdot 11$ y es fácil ver desde aquí que $n=11,22$ son las únicas soluciones.

Answer 2

La segunda no es una suposición afortunada. Si $n$ es impar, entonces $\varphi(2n)=\varphi(2)\varphi(n)=\varphi(n)$ .

Está claro que sólo hay una prima $n$ tal que $\varphi(n)=10$ . Y tiene el acompañante automático $22$ . Para buscar otros no primos, recordemos que $\varphi$ es multiplicativo lo que significa que si $a$ y $b$ son relativamente primos, tenemos $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$ .

Veamos las posibilidades $\varphi(a)=2$ , $\varphi(b)=5$ . La ecuación $\varphi(b)=5$ no tiene soluciones, ya que por simetría $\varphi(n)$ es incluso si $n\gt 2$ .

Observación: Considere $n=2k$ donde $k$ es impar. Si $k=1$ la ecuación $\varphi(n)=n$ tiene las soluciones $3$ , $6$ y $4$ .

Si $k\gt 1$ y $2k+1$ no es primo, entonces no podemos encontrar un $x$ tal que $\varphi(a)=2k$ . Si $2k+1$ es primo, la ecuación $\varphi(x)=2k$ tiene precisamente dos soluciones, $2k+1$ y $4k+2$ . El argumento es básicamente el mismo que en el caso $k=5$ arriba.

Answer 3

Si un número $n$ tiene una factorización primaria $p_1^{x_1} p_2^{x_2} p_3^{x_3} \cdots $ entonces se cumple la siguiente fórmula: $$ \varphi(n) = \left( p_1^{x_1} - p_1^{x_1 - 1}\right)\left( p_2^{x_2} - p_2^{x_2 - 1}\right) \left( p_3^{x_3} - p_3^{x_3 - 1}\right) \cdots $$

Answer 4

Se demostrará el método general para 12.

Los factores de 12 son 2*2*3. Este es el producto de los totientes de las potencias primos (p-1)p^q. Así que dividimos esto en eg productos a 12 que son números de esta forma.

 1*12    1,2 * 13      13, 26
 1*2*6   1,2 *3* 7     21, 42
 2*6     4 * 7, 9      28, 36

Como 3 no puede ser el totiente de una potencia prima, no se considera la factorización de 12=3*4.

El caso de 10 implica que 11 y 2 tienen productos totientes de 10 y 1, lo que lleva directamente a 11 y 22.