$C^\infty$ vs $C^\omega$ superficies

Question

Agradecería si alguien podría explicar la diferencia(s) entre un $C^\infty$ $C^\omega$ de la superficie incrustado en $\mathbb{R}^3$. Corrí a través de estos términos en M. Berger de la Geometría Reveló libro (pág.387). El contexto es: Hay ejemplos de los dos $C^\infty$ compacto superficies que son isométrica, pero no se conocen ejemplos de "dos reales analítica (clase $C^\omega$)" las superficies que están isométrica. Gracias!

Aclaración. Gracias a Mariano y a Willie para intentar ayudar---te agradezco que! Es difícil ser claro cuando usted está confundido :-). Permítanme dos preguntas más específicas: (1) ¿de Dónde viene el $\omega$ entrar en la definición de $C^\omega$? Presumiblemente $\omega$ es el primer ordinal infinito. (2) Lo que estoy realmente después es el geométrica de forma "diferencias" entre el$C^\infty$$C^\omega$. La no-analítica, pero suave funciones sé sin problemas de combinación, por ejemplo, una exponencial a una línea recta, sino geométricamente tienen la apariencia de las funciones lisas. Supongo que no entiendo lo de las limitaciones de la real analiticidad implica geométricamente. Tal vez por eso este isométrica pregunta Berger mencionado es sin resolver?!

Adenda. Aquí están Ryan dos funciones:

A la izquierda: $C^\infty$ pero no $C^\omega$. Derecha: $C^\omega$.

Answer 1

$C^\omega$ medios analíticos y $C^\infty$ significa infinitamente diferenciable. Así, por ejemplo, la unión de los dos gráficos:

$$ z = e^{\frac{1}{x^2+y^2-1}}, \text{ for } x^2+y^2<1$$

y

$$ z=0, \text{ for } x^2+y^2 \geq 1 $$

es una $C^\infty$de la superficie en $\mathbb R^3$, pero no es una $C^\omega$de la superficie.

Por otro lado, $z = \frac{1}{1+x^2+y^2}$ $C^\omega$de la superficie en $\mathbb R^3$ y en el gráfico que se "ve" similar, en la que ambos están aislados de la colina-tops.

Buscaba algo más específico que eso?

Answer 2

Para la Aclaración (1): creo $\omega$ es solo para indicar que la suavidad es "más de $C^\infty$", y no creo que haya ninguna conexión considerable para el primer ordinal infinito.

(2): Analítica de superficies son mucho más rígidas que las superficies lisas. Por ejemplo, usted puede elegir cualquier conjunto abierto en una superficie lisa y hacer la cirugía, de modo que solo los elegidos conjunto se ve afectado. Para la analítica de superficies golpe en un punto, molestar a la totalidad de la superficie. Las superficies lisas son de chapa de metal, mientras que la analítica de superficies de cerámica. Yo reserva de goma para superficies topológicas.