La forma habitual de clasificar los $n$-dimensiones del vector haces es mirar a la clasificación de espacio, que es el infinito Grassmannian $Gr(n,\infty)$. Hay un `tautológica" paquete de más de $Gr(n,\infty)$, y cada una de las $n$-dimensiones del vector paquete de más de un colector $M$ es un pull-back de la tautológica paquete por algún mapa en $M\to Gr(n,\infty)$. Este pull-back es invariante bajo homotopy por lo que realmente están estudiando homotopy clases de mapas de $M\to Gr(n,\infty)$. Que los paquetes están en correspondencia 1-1 con el conjunto $[M,Gr(n,\infty)]$ y hay un montón de herramientas disponibles, tales como característica de las clases, para el estudio de este conjunto.
Para su pregunta sobre la banda de Möbius, es una 2-variedad, y la dimensión de la base más la fibra debe ser $2$. La única que no sea trivial posibilidad es que se trata de una línea de paquete a través de una $1$-colector, y la única conectada $1$-colector es el círculo. En general, un vector paquete es homotopy equivalente a su base de espacio, así que al menos la homotopy tipo de colector $M$ está determinada únicamente por el paquete. Hay ejemplos de no-homeomórficos colectores que se convierten en homeomórficos después de cruzar con $\mathbb R$, de modo que usted puede tener dos diferentes $n$-dimensiones del vector de paquetes han homeomórficos el espacio total.
