Clasificación de los paquetes de vectores

Question

Dado un colector $M$, hay una manera de clasificar a isomorfismo todos los posibles vectores paquetes de más de $M$ de un determinado rango? Algunas otras preguntas en este sitio lidiar con casos específicos, que a todos parece muy difícil. Hay casos donde es completamente conocida, y ¿qué condiciones debe tener lugar en la $M$ a ser capaz de decir cualquier cosa? Lo que hace el resto de los casos tan difícil?

En relación con esto, supongamos que tenemos un poco de espacio, por ejemplo la banda de Möbius, que es una línea de paquete de más de $S^1$. Hay una manera de clasificar todos los espacios que tiene la banda de Möbius como un vector paquete, por ejemplo?

Answer 1

La forma habitual de clasificar los $n$-dimensiones del vector haces es mirar a la clasificación de espacio, que es el infinito Grassmannian $Gr(n,\infty)$. Hay un `tautológica" paquete de más de $Gr(n,\infty)$, y cada una de las $n$-dimensiones del vector paquete de más de un colector $M$ es un pull-back de la tautológica paquete por algún mapa en $M\to Gr(n,\infty)$. Este pull-back es invariante bajo homotopy por lo que realmente están estudiando homotopy clases de mapas de $M\to Gr(n,\infty)$. Que los paquetes están en correspondencia 1-1 con el conjunto $[M,Gr(n,\infty)]$ y hay un montón de herramientas disponibles, tales como característica de las clases, para el estudio de este conjunto.

Para su pregunta sobre la banda de Möbius, es una 2-variedad, y la dimensión de la base más la fibra debe ser $2$. La única que no sea trivial posibilidad es que se trata de una línea de paquete a través de una $1$-colector, y la única conectada $1$-colector es el círculo. En general, un vector paquete es homotopy equivalente a su base de espacio, así que al menos la homotopy tipo de colector $M$ está determinada únicamente por el paquete. Hay ejemplos de no-homeomórficos colectores que se convierten en homeomórficos después de cruzar con $\mathbb R$, de modo que usted puede tener dos diferentes $n$-dimensiones del vector de paquetes han homeomórficos el espacio total.