Es esta una demostración de sonido de la identidad de Euler?

Question

Richard Feynman se refiere a la Identidad de Euler, $e^{i\pi} + 1 = 0$ como "la joya."

Estoy tratando de demostrar esta joya sin recurrir a una serie de Taylor.

Dado $z = cos\theta + i sin\theta\; |\;|z| = 1$,

$$\frac{dz}{d\theta}= -sin\theta + icos\theta =i(isin\theta+cos\theta)=iz$$

Ahora, si me dejo $z=u(\theta)$,, $$\frac{du}{d\theta}=iu(\theta)$$
Deshacer mi original derivados, $$\int iu(\theta) d\theta =u(\theta)+C$$ $$ \therefore z=u(\theta)=e^{i\theta}$$ which is the general case. Substituting $\pi =\theta$ for the special case, and invoking the original equation, we are left with $z=cos\pi + isin\pi =-1 = e^{i\pi}$ $$\therefore e^{i\pi}+1=0$$

Cuando lo he trabajado a través de este, la constante de integración que me inquietaba, como un desagradable inclusión estropear la joya. Pero ahora, creo que es justo para mí a impuestos en la línea, $\;\therefore z=u(\theta)=e^{i\theta}$

Es eso correcto?

Answer 1

Así, acaba de reorganizar un poco la prueba, las dos funciones: $$ f(z) = \cos(z)+i\sin(z),\qquad g(z)=e^{iz} $$ de hecho son la misma función, ya que ambos son soluciones para el primer fin de la educación a distancia $$ h'(z)-i\cdot h(z) = 0 $$ con la condición inicial $h(0)=1$. Estamos explotando simplemente la de Cauchy-Lipschitz el teorema.

Mediante la evaluación de las $f$ $g$ $z=\pi$ obtenemos de Euler de celebración de la identidad.

La prueba está perfectamente bien, pero esto no es muy diferente desde la prueba de $f\equiv g$ comparando su serie de Taylor, si tenemos en cuenta que Frobenius' el poder de la serie método es la forma más natural para la solución de algunas ecuaciones diferenciales ordinarias. La misma situación ocurre en un discreto establecer, por ejemplo. Podemos demostrar que:

$$ F_n = \sum_{0\leq k \leq \frac{n-1}{2}}\binom{n-1-k}{k} $$ es por explotar el teorema del binomio, o mediante la demostración de que tanto el LHS y RHS satisfacer la misma recurrencia relación con las mismas condiciones iniciales.

Answer 2

Esto no es una prueba de Euler del descubrimiento, sino de algo mucho más débil.

Lo de Euler notado es que hay una conexión entre la función exponencial y funciones trigonométricas. La prueba sólo muestra que las soluciones a $F'(t)=iF(t)$ (real $t$) son equivalentes a un movimiento circular uniforme en el plano complejo. Esto sugiere cierta relación formal de $F(t)$ a exponenciales, pero no:

• dar una construcción de $F(t)$ independiente de movimiento circular;
• mostrar que $F(ix)$ existe para el real $x$
• mostrar que $F(-ix)$,$x$, es igual a la función que nosotros conocemos como $e^x$.

Aquellos (o sus equivalentes) son los que sacudieron los hechos que Euler descubrió y la razón de que su fórmula se celebra.

A partir de una más avanzada formalismo (como la alimentación de la serie) donde $e^z$ es definido por la real y la imaginaria $z$ entonces un argumento como este podría reproducir de Euler encontrar.