¿Existe una función más sencilla con esta forma?

Question

Necesito una función que tenga la forma que se muestra a continuación. No me importa lo que la función hace por $x < 0$ o $x > 1$ .

He experimentado con un montón de funciones diferentes, configurado primeras y segundas derivadas, y llegué a este pequeño monstruo. Pero sospecho que hay algo más simple.

$$\frac{1 + \sin \left[\frac{\pi}{2}(544x + 81)^{1/4}\right]}{2}$$

El origen de este problema es que estoy intentando convertir una métrica de diferencia entre un patrón y un modelo en una especie de "probabilidad" de que el modelo y el patrón coincidan mal. Por tanto, debería ser cero para el modelo que mejor coincide con el patrón, y baja para patrones muy similares, pero aumentando rápidamente para patrones que son menos similares.

Pero al mirarlo, me recuerda a un pozo de gravedad.

Answer 1

Si necesitas que sea suave hasta un punto tonto puedes utilizar la función integral (o alguna aproximación) de una función de protuberancia :

$$f(x) = \cases{\exp\left[-\frac{1}{1-x^2}\right] \hspace{1cm} x \in [-1,1]\\0 \hspace{3.cm} |x|>1}$$

Esta función es diferenciable infinitas veces, y por supuesto también lo será su integral. Pero, por supuesto, tendremos que reescalarla para ajustarla al intervalo de $x$ : $[-1,1] \to [0,1]$ por supuesto.

EDITAR Para responder al comentario de Bernards puede que también necesitemos renormalizarlo, lo que podemos hacer dividiendo con $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx$ que garantizará que obtengamos el máximo de 1 (en $x=1$ ). Dividir por una constante no cambiará ninguna de las otras propiedades.

Answer 2

Sugiero la siguiente familia de funciones: $$f_a(x)=1-\sin\left(\frac{\pi}{2}(1-x)^2e^{-ax^2}\right).$$ Donde puede elegir $a$ como desee para satisfacer sus necesidades. En la siguiente imagen puedes ver los casos $ a=1,10$ .

Answer 3

Ya que ha mencionado la "probabilidad", ¿ha considerado una FCD de Weibull ?

$$ y = 1 - {e^{-(x/0.4)}}^{2.5} $$

Answer 4

Dependiendo de su definición de "simple", podría considerar un polinomio sobre un polinomio. Éstos pueden configurarse de modo que la diferencia de crecimiento del polinomio "cancele" efectivamente otros términos, lo que le permite configurar regiones en la curva de comportamiento diferente.

Estas ecuaciones son muy flexibles y no suelen ser demasiado difíciles de manejar, sobre todo para su posterior manipulación matemática. También pueden ajustarse a los datos con bastante facilidad.

He aquí un ejemplo que se me ocurrió al azar:

$$\frac{x+50x^{2.5}}{1+50x^{2.5}}$$

Answer 5

Como se me ha pedido, he convertido mi comentario en una respuesta.

La función $f(x)=x^{1/x}$ podría utilizarse para sus fines, aunque como usted ha señalado, no es asintótica en $y=1$ . La verdad es que no he encontrado ninguna variación de esta función que se adapte mejor a tus necesidades, pero afirmas que esto también funcionaría. Si encuentro una variación mejor, editaré esta respuesta. Aquí tienes un gráfico de la función como referencia.

EDITAR : Olvidé mencionar, como señala OP, que se podría cambiar la función a $f(x)=x^{1/x^b}$ donde $b$ es un parámetro que controla la inclinación.