Dejemos que $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ sea diferenciable y $f'$ es continua. Supongamos que $f(a)=f(b)=0$ , demuestran que
$$\max_{x\in[a,b]}|f'(x)|\geq\frac{4}{(b-a)^2}\int_a^b|f(x)|dx$$
Mi enfoque. Para cualquier $x$ por el teorema de Taylor hay $\xi\in(a,x)$ s.t.
$$|f(x)|=|f(a)+f'(\xi)(x-a)|\leq\max_{x\in[a,b]}|f'(x)|(x-a)$$
Por lo tanto,
$$\int_a^b |f(x)|dx\leq\max_{x\in[a,b]}|f'(x)|\int_a^bx-adx=\frac{(b-a)^2}{2}\max_{x\in[a,b]}|f'(x)|$$
Sólo puedo conseguir esto, y no sé cómo obtener $\frac{(b-a)^2}{4}$ .
