Deje $G$ ser un grupo finito, y deje $F$ ser una solución completa para $G$. En otras palabras, $F$ es un acíclicos complejo de cadena de proyectiva $\mathbb{Z}G$-módulos, junto con un mapa $\varepsilon:F_0\to\mathbb{Z}$ tal que $\varepsilon:F_+\to\mathbb{Z}$ es un proyectiva resolución de $\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}G$.
Puede ser demostrado que se puede construir una solución completa para $G$ de tal manera que cada una de las $F_n$ es finitely generado. Dicha resolución se dice que el ser finito tipo.
Si $M$ $\mathbb{Z}G$- módulo, podemos definir la Tate cohomology grupos de $G$ con coeficientes en $M$ como sigue:
$$\hat{H}\,^n(G,M):=H^n(\mathrm{Hom}_G(F,M))$$
Esta definición es independiente de la elección de la resolución de $F$ porque cualquiera de las dos opciones son homotopy equivalente.
Ahora, vamos a $M=\mathbb{Z}$ ser el trivial $\mathbb{Z}G$-módulo. El uso de lo que he escrito, me gustaría ver qué $\hat{H}\,^n(G,\mathbb{Z})$ es un finitely generado abelian grupo para todos los $n$. Sé que en este caso $\mathrm{Hom}_G(F_n,\mathbb{Z})\cong F_n^G$ es el grupo de los invariantes de $F_n$, por lo que estamos considerando la abelian grupos $H^n(F^G)$, pero ¿cómo podemos demostrar que son finitely generado?
