La transferencia de las propiedades de una categoría $\mathcal{D}$ para el functor categoría $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$

Question

A menudo, en la categoría de teoría, una propiedad de una categoría $\mathcal{D}$ también llevará a cabo en el functor categoría $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$, tal vez con algunas pequeñez condiciones en $\mathcal{C}$. Las pruebas a las que todos siguen el mismo patrón: tomar una transformación natural $\alpha : F \to G$, considerar cada componente $\alpha_C : FC \to GC$ por separado - de modo que ahora estamos trabajando en $\mathcal{D}$ - uso de la propiedad de $\mathcal{D}$ y luego el parche de los resultados al final.

Por ejemplo:

• Si $\mathcal{D}$ (co)de los productos, también lo $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$.
• Si $\mathcal{D}$ es abelian (o aditivo, o preadditive, o...) entonces es $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$, siempre $\mathcal{C}$ a nivel local es pequeño.

Pregunta: ¿hay resultados generales, tales como condiciones de una determinada propiedad $\phi$, que aseguran que si $\phi$ mantiene en $\mathcal{D}$ $\phi$ mantiene en $[\mathcal{C},\mathcal{D}]$.

Mis pensamientos: La respuesta es inevitablemente va a tener algo que ver con el 'unir' parte de la prueba.

Por ejemplo, si $\mathcal{D}$ productos y $F, G : \mathcal{C} \rightrightarrows \mathcal{D}$ entonces podemos definir el producto de $F \times G : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$$(F \times G)C = FC \times GC$, y luego la proyección de flechas se definen las componentes por $$(\pi_F)_C = \pi_{FC} : FC \times GC \to FC$$ $$(\pi_G)_C = \pi_{GC} : FC \times GC \to GC$$ El hecho de que $(F \times G, \pi_F, \pi_G)$ define un producto en $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$ se cuelga en el hecho de que la definición de las componentes realmente producir una transformación natural, en lugar de sólo una $\operatorname{ob} \mathcal{C}$-indexado de la familia de las flechas.

Answer 1

Cilve, su primera instancia muestra de que tenemos que ser cuidadosos cuando se mueve de a $\mathcal{D}$ $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$\begin{pmatrix} & 1 & & & \\ & & 1 & & \\ & & & 1 & \\ & & & & \ddots \\ -f_0 & -f_1 & -f_2 & \cdots & -f_{n-1} \\ \endusted debe encontrar fácilmente las categorías de $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ tal que $\mathcal{D}$ es cartesiana cerrada, pero el functor categoría $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$ no lo es.

Los otros ejemplos más o menos a partir de una versión adecuada de la Yoneda lema. Yo te mostraré cómo aplicar Yoneda lema para obtener los límites de/colimits en un functor categoría. Deje $\mathcal{X}, \mathcal{D}$ ser pequeño categorías. Existe su cotensor (exponente) $\mathcal{D}^\mathcal{X}$ junto con la diagonal functor: $$\mathcal{D} \overset{\Delta}{\rightarrow} \mathcal{D}^\mathcal{X}$$ dado a la transposición de la proyección cartesiana $\pi \colon \mathcal{D} \times \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{D}$. El límite functor $\mathit{lim}$ se define como el derecho medico adjunto de la diagonal, y el colimit $\mathit{colim}$ se define como la izquierda adjunto a la diagonal.

La idea es aplicar la 2-Yoneda functor para el diagrama de arriba. Tenemos $$\hom(-, \mathcal{D}^\mathcal{X}) \approx \hom(-, \mathcal{D})^{\mathcal{X}}$$ por la definición de la cotensor. Por lo tanto, el diagrama de arriba se asigna el diagrama: $$\hom(-, \mathcal{D}) \rightarrow \hom(-, \mathcal{D})^\mathcal{X}$$ Desde adjunctions son equationally definido, se conservan por cualquier 2-functor, y en particular por 2-Yoneda. Esto significa, que la transformación de derecha/izquierda adjunto transformación proporcionado $\Delta$. Pero una transformación que tiene a la izquierda/derecha adjunto, tiene a la izquierda/derecha adjunto en cada una de componenet $\mathcal{C}$. Por lo tanto: $$\hom(\mathcal{C}, \mathcal{D}) \rightarrow \hom(\mathcal{C}, \mathcal{D})^\mathcal{X}$$ derecha/izquierda adjoint si $\mathcal{D}$ $\mathcal{X}$- indexada límites/colimits.

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También podemos ver qué iba a ir mal si se trató de aplicar la estrategia anterior para mostrar que cartesianas closedness es heredado por functor categorías.

Recordemos que una categoría $\mathcal{D}$ es cartesiana cerrada si para cada elemento global $x \colon 1 \rightarrow \mathcal{D}$ canónica de la functor: $$\mathcal{D} \approx \mathcal{D} \times 1 \overset{\mathit{id}\times x}\rightarrow \mathcal{D} \times \mathcal{D} \overset{\times_\mathcal{D}}{\rightarrow} \mathcal{D}$$ tiene derecho adjoint, donde $\mathcal{D} \times \mathcal{D} \overset{\times_\mathcal{D}}{\rightarrow} \mathcal{D}$ es la interna producto cartesiano functor en $\mathcal{D}$.

Al igual que antes, podemos aplicar a nuestro diagrama de la 2-Yoneda functor la obtención de: $$\hom(-, \mathcal{D}) \approx \hom(-, \mathcal{D}) \times 1 \overset{\mathit{id}\times \hom(-, x)}\rightarrow \hom(-, \mathcal{D}) \times \hom(-, \mathcal{D}) \overset{\times_{\hom(-, \mathcal{D})}}{\rightarrow} \mathcal{D}$$ y a la conclusión de que esta transformación tiene derecho adjoint iff la primera tiene. Sin embargo, el terminal objeto de $1$ no es un (2-)el generador en $\mathbf{Cat}^{\mathbf{cat}^{op}}$, con lo que el adjunctions no dan una buena caracterización de los cartesiano objetos cerrados en esa categoría. En particular, $\hom(-, \mathcal{D}) \colon \mathbf{cat}^{op} \rightarrow \mathbf{Cat}$ no puede ser un cartesiana cerrada (2-)fibration, y uno puede esperar la existencia de los exponentes en una fibra $\hom(\mathcal{C}, \mathcal{D})$ sólo en "constante" objetos inducida por global secciones $\hom(\mathcal{C}, x) \colon 1 \rightarrow \hom(\mathcal{C}, \mathcal{D})$.