Supongamos que $\phi$ fuera la función característica de un vector aleatorio 2D $X=(X_1,X_2)$. Entonces, $X_1$ y $X_2$ tienen las funciones características $\phi(t,0)=\exp(-t^2+it/3)$ y $\phi(0,t)=\exp(-t^2)$ respectivamente. Esto significa que $X_1$ y $X_2$ están distribuidos normalmente (pero no conjuntamente normales). Entonces, $$ \begin{align} \exp(t\Vert X\Vert)&\le\exp(t\vert X_1\vert)\exp(t\vert X_2\vert)\\ &\le\max\left(e^{t\vert X_1\vert},e^{t\vert X_2\vert}\right)^2\\ &\le e^{2t\vert X_1\vert}+e^{2t\vert X_2\vert} \end{align} $$ tiene media finita para todo $t$ positivo. Esto significa que $\phi(t_1,t_2)=\mathbb{E}[\exp(it_1X_1+it_2X_2)]$ se extiende a una función analítica de $t_1,t_2$ en todas partes en $\mathbb{C}^2$. Por la unicidad de la continuación analítica, esto debe coincidir con su expresión en $\mathbb{C}^2$. Sin embargo, tu expresión no converge cuando $t_2\to it_1$.
Agregaré otra prueba de que $\phi$ no es una función característica, la cual está más relacionada con el título del documento referenciado en la pregunta (Leyes no estables con todas sus proyecciones estables). Si $\phi$ fuera la función característica de un vector aleatorio $X=(X_1,X_2)$ entonces, para cualquier $a\in\mathbb{R}^2$, $a\cdot X$ tendría función característica $$ \mathbb{E}\left[e^{ita\cdot X}\right]=\phi(ta_1,ta_2)=\exp\left(-\Vert a\Vert^2 t^2+it\frac{a_1}{3}\frac{a_1^2-3a_2^2}{a_1^2+a_2^2}\right). $$ Entonces, $a\cdot X$ está distribuido normalmente con varianza $2\Vert a\Vert^2$ y media $\mu(a)\equiv\frac{a_1}{3}\frac{a_1^2-3a_2^2}{a_1^2+a_2^2}$. Esto es contradictorio, ya que ni siquiera respeta la aditividad de las expectativas, $$ \mathbb{E}[(a+b)\cdot X]=\mu(a+b)\not=\mu(a)+\mu(b)=\mathbb{E}[a\cdot X]+\mathbb{E}[b\cdot X]. $$
