Un nuevo enfoque para encontrar un valor de $x^2+\frac{1}{x^2}$

Question

Cuando yo estaba enseñando en clase de la universidad ,escribo esta pregunta en la junta .

si ahora se $x+\frac{1}{x}=4$ mostrar el valor de $x^2+\frac{1}{x^2}=14$

Algunos estudiantes me piden multi idea de mostrar o demostrar que . Traté de estos : $$ $$1 :$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=4^2\\x^2+\frac{1}{x^2}+2x\times \frac{1}{x}=16\\x^2+\frac{1}{x^2}=16-2 $$ 2:resolución de ecuaciones cuadráticas ,y poner una de las raíces de$$x+\frac{1}{x}=4\\\frac{x^2+1}{x}=4\\x^2+1=4x\\x^2-4x+1=0\\x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4(1)(+1)}}{2}=\\x=\frac{4\pm \sqrt{12}}{2}=2\pm \sqrt{3}\\x=2+\sqrt3 \to x^2=4+4\sqrt3+3=7+4\sqrt3\\x^2+\frac{1}{x^2}=7+4\sqrt3+\frac{1}{7+4\sqrt3}=\\7+4\sqrt3+\frac{1}{7+4\sqrt3}\cdot\frac{7-4\sqrt3}{7-4\sqrt3}=\\7+4\sqrt3+\frac{7-4\sqrt3}{49-16\cdot 3}=\\7+4\sqrt3+\frac{7-4\sqrt3}{1}=14$$ 3: aproximación visual .asumir lado de la longitud de un cuadrado es $x+\frac{1}{x}=4$

ahora estoy buscando una nueva idea para la prueba .Cualquier sugerencia se agradece .(más una prueba visual - geométrico - trigonométrica - uso de los números complejos ...)

Answer 1

Aquí es ligeramente disfrazado versión de la misma idea.

Deje $x=e^u$

Luego tenemos a $$\cosh u=2$$ Y queremos que $$x^2+\frac {1}{x^2}=2\cosh 2u=2(2\cosh^2 u-1)=2(8-1)=14$$

Answer 2

No está seguro de cómo mostrar lo que la continuación de la fracción es igual, pero aquí está mi intento. Una vez más similar en espíritu al método algebraico.
La solución para $x$ en la primera ecuación tenemos: $x = 4 - \frac{1}{x}$.
Sustituyendo esto en la segunda ecuación:
$ (4 - \frac{1}{x})^{2} + \frac{1}{(4 - \frac{1}{x})^{2}} = 16 - \frac{8}{4-\frac{1}{x}} + \frac{1}{ 16 - \frac{8}{4-\frac{1}{x}}} = 16 - \cfrac{8}{4-\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{4-\cdots}}} + \frac{1}{16 - \cfrac{8}{4-\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{4-\cdots}}}} $ Y que gran lío es igual a 14.

Answer 3

Algunos de ofuscación utilizando álgebra lineal:

Escribir $x + \frac{1}{x} = a$ y dejar

$$ p(\lambda) = \left( \lambda - x \right) \left( \lambda - \frac{1}{x} \right) = \lambda^2 - a\lambda + 1$$ be a polynomial whose roots are $x$ and $\frac{1}{x}$ y considerar la posibilidad de que la compañera de la matriz

$$ A = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & a \end{matrix} \right). $$

Los autovalores de a$A$$x$$\frac{1}{x}$$\mathrm{tr}(A) = x + \frac{1}{x} = a$. Los autovalores de a$A^2$$x^2$$\frac{1}{x^2}$, por lo que

$$ x^2 + \frac{1}{x^2} = \mathrm{tr}(A^2) = \mathrm{tr} \left( \begin{matrix} -1 & -a \\ a & a^2 - 1 \end{matrix} \right) = a^2 - 2. $$

Answer 4

Se puede simplificar esta observando $$x^2+\frac1{x^2}=x^2+x^{-2}=e^{2\ln(x)}+e^{-2\ln(x)}=\cos(2i\ln(x))$$

Ahora usted puede resolver por $x$ muy fácilmente.

$$x^2+\frac1{x^2}=y$$$$\cos(2i\ln(x))=y$$$$x=e^{\frac{\arccos(y)}{2i}}$$