Si $f$ tiene un polo, hace $f^2$ ¿tiene un poste?

Question

No entiendo algo en el ejercicio 2.17 de Curvas algebraicas de Fulton.

Dejemos que $k = \overline{k}$ un campo y $V$ sea la variedad definida por el cero de $ I = ( y^2 - x^2(x-1) ) \subset k[x,y]$ .

Dejemos que $\overline{x}, \overline{y}$ sean las funciones de coordenadas. Entonces $z = \frac{\overline{y}}{\overline{x}}$ es una función racional con un polo en (0,0) pero $z^2 = x-1$ y por lo tanto no tiene polos en $\mathbb A^2_k$ .

No entiendo cómo es posible, porque intenté ver los polos exactamente como en el análisis complejo (si $f$ tiene un polo en $z_0$ entonces $f^2$ también) pero parece que no es posible (o me he equivocado...)

Answer 1

La curva $V$ no es suave en $(0,0)$ . Alrededor de ese punto, su curva se parece a $y^2=x^2$ que tiene dos ramas, una en la que $y/x = +1$ y una en la que $y/x = -1$ . Una forma de pensar en lo que ocurre es que la "función" $y/x$ no tiene límite ya que $(x,y) \to (0,0)$ pero $(y/x)^2$ hace. El comportamiento de $y/x$ alrededor de $(0,0)$ no es realmente el mismo tipo de comportamiento que un "polo" en el sentido del análisis complejo.

Answer 2

El punto principal es que estamos considerando la restricción a $V$ de la función $z^2=\frac{\bar y^2}{\bar x ^2}$ : ese es el significado cuando ponemos una barra sobre ellos. Dentro de la variedad $V$ debido a la ecuación definitoria $y^2-x^2(x-1)$ , $z^2$ está de acuerdo con $x-1$ y está definida en todas partes, por lo que no tiene polos.