He buscado en Internet y he encontrado muchas pruebas que demuestran que en la geometría euclidiana, la suma de ángulos de un triángulo es siempre de 180 grados. También he encontrado muchas pruebas que demuestran que en la geometría hiperbólica, la suma de los ángulos de un triángulo es siempre menor que 180 grados. Por alguna razón no he podido encontrar una prueba que demuestre que, en la geometría elíptica, la suma de ángulos de un triángulo es mayor que 180 grados.
¿Podría alguien exponer la prueba, o mejor aún, proporcionar un enlace o libro donde pueda leer sobre ello?
SOLUCIÓN - verificada
Usando la lectura sugerida por Sam, combinada con un libro que he estado leyendo, creo que he llegado a una prueba híbrida.
Definición : Una luna es una cuña de una esfera con ángulo $\theta$ representado por L( $\theta$ ) en la prueba.
$\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ son los tres ángulos del triángulo.
Prueba
Si lees la página que sugirió Sam, especialmente la parte 3. Triángulo en Esferas, debería ayudar con la idea del lunes. Los seis lunes creados por los ángulos del triángulo abarcan toda la esfera, además de solapar el área del triángulo en la parte delantera y trasera de la esfera 4 veces más. Así, partimos de que el radio de la esfera más 4 veces el área del triángulo es igual a los 6 lunes.
$4\pi r^2 + 4{\rm area}[\alpha\beta\gamma] = 2L(\alpha) + 2L(\beta) + 2L(\gamma)$
$2(2\pi r^2 + 2{\rm area}[\alpha\beta\gamma]) = 2(L(\alpha) + L(\beta) + L(\gamma))$
$2\pi r^2 + 2{\rm area}[\alpha\beta\gamma] = L(\alpha) + L(\beta) + L(\gamma)$
En este punto tenemos que utilizar un teorema que dice que una luna cuyo ángulo de esquina es $\theta$ radianes tiene área $2\theta r^2$ .
$2\pi r^2 + 2{\rm area}[\alpha\beta\gamma] = 2\alpha r^2 + 2\beta r^2 + 2\gamma r^2$
$2\pi r^2 + 2{\rm area}[\alpha\beta\gamma] = 2 r^2 (\alpha + \beta + \gamma)$
$\pi + \frac{{\rm area}[\alpha\beta\gamma]}{r^2} = \alpha + \beta + \gamma$
En este punto está claro que la suma de los ángulos es igual a $\pi$ más el $\frac{{\rm area}[\alpha\beta\gamma]}{r^2}$ (que no puede ser cero).
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El teorema de Gauss-Bonnet podría ser una frase útil aquí.
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¿Alguien podría revisar la solución que he propuesto? Básicamente es una fusión de dos enfoques, así que espero que sea válida.
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Errores menores - en la definición L debería ser $L(\theta)$ . También, $area$ debe ser ${\rm area}$ en todas partes. (Es decir, {\rm área} en modo matemático.) Puntos de estilo aparte, esto es correcto. Es mucho más fácil con una imagen, por supuesto. Yo mismo dibujé un diagrama de Venn con tres círculos para averiguarlo.
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Ah, y a menudo la gente escribe ${\rm Area} = \alpha + \beta + \gamma - \pi$ para hacer más clara la conexión con la geometría hiperbólica (¡sólo un cambio de signo!).
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@Sam ¡Gracias! He hecho esas correcciones. Al pasar de $\pi + \frac{{\rm area}[\alpha\beta\gamma]}{r^2} = \alpha + \beta + \gamma$ a ${\rm area}=\alpha+\beta+\gamma\pi$ ¿Qué pasa con el $r^2$ ?
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Tomé $r = 1$ .