De acuerdo, voy a secuestrar este hilo a pesar de que ya hay una respuesta, ya que no he encontrado ninguna información de calidad y localizada sobre multifractales.
Como se mencionó en los comentarios, escuché por primera vez acerca de los multifractales en una charla técnica de Google de Rogene M. Eichler West, que se puede encontrar, sin sonido, en YouTube, llamada "Multifractales: Teoría, Algoritmos y Aplicaciones". Desafortunadamente, Google Video fue descontinuado después de que compraron YouTube y no puedo encontrar el video original que incluía el sonido.
Aún no entiendo a un nivel profundo qué, cómo y por qué hacen los multifractales, son mejores que otro método o cómo lo hacen, pero por lo que entiendo la idea es generalizar el concepto de espectro para incluir funciones que tienen una simetría de escala, donde la simetría de escala puede estar en muchas escalas diferentes (por lo tanto, multi-fractal, en lugar de solo ser fractal). Así como el espectro de Fourier construye un perfil de las invariancias de traslación de una función, el espectro multifractal da información sobre las invariancias de escala de una función.
La metodología general parece ser, para una función dada $f(t)$:
Donde $D(\alpha) \stackrel{def}{=} D_F\{x, h(x) = \alpha\}$, y $D_F\{\cdot\}$ es la dimensión (Hausdorff?) de un conjunto de puntos.
Creo que la idea es que para funciones caóticas/fractales/discontinuas, en cualquier punto se pueden caracterizar, localmente, por el término más grande de su expansión de Taylor y el exponente de Hölder es una forma de caracterizar esto. Una vez que tienes la función, $h(t)$, que caracteriza el exponente de Hölder, usas eso para construir el espectro de singularidad. Creo que el espectro de singularidad es sinónimo del espectro multifractal.
Por lo que puedo ver, los detalles sobre cómo calcular $h(t)$ y $D(\alpha)$ en la práctica varían desde aproximándolos directamente por su definición o usando wavelets para aproximar el exponente de Hölder y luego usando una transformada de Legendre para aproximar el espectro multifractal.
Por lo que entiendo, $D(\alpha)$ tiende a ser (¿o siempre es?) cóncavo. Solo tengo la noción más vaga de por qué es así. Cómo se relacionan las transformadas de wavelet para encontrar el exponente de Hölder, cómo se usa la transformada de Legendre para encontrar el espectro multifractal, por qué el espectro multifractal debería ser cóncavo, qué tipo de sensación intuitiva se debería tener sobre una función al ver el espectro, entre muchos otros, aún no tengo idea.
El cascade multiplicativo parece ser un ejemplo canónico de un proceso multifractal.
En línea, "Una breve descripción de series temporales multifractales" da una breve explicación de los multifractales. Afirman poder distinguir un corazón saludable de uno que sufre de insuficiencia cardíaca congestiva (ver aquí).
Aquí hay algunas diapositivas que dan una breve descripción de los multifractales. Cerca del final de las diapositivas, dan una transformada de wavelet de la función de la escalera del diablo y hablan un poco sobre el uso del Método de Máximos del Módulo de la Transformada de Wavelet (WTMM), que parece ser una herramienta estándar al hacer este tipo de análisis (¿alguien tiene buenos enlaces para esto?).
Buscando, encontré Wavelets en física por J. C. van den Berg que tenía esta sección accesible en la web para una definición del espectro de singularidad.
Rudolf H. Riedi parece tener algunos artículos que describen procesos multifractales. Aquí hay algunos:
Aunque se centra en finanzas, Laurent Calvet y Adlai Fisher tienen mucha introducción a la terminología en "Multifractalidad en los retornos de activos: Teoría y evidencia".
Y por supuesto Mandelbrot, junto con otros autores, tiene muchos artículos, algunos de los cuales son:
Movimiento Browniano Fraccional también se menciona con frecuencia, pero no tengo una idea clara de cómo se relacionan. También parece mencionarse la Teoría de Grandes Desviaciones, pero no sé cómo se relaciona con los multifractales. Creo que también he visto mencionadas la entropía, las transiciones de fase y la mecánica estadística aquí y allá. Me gustaría saber si hay alguna relación con estos temas y los multifractales.
Siento como si estuviera dando vueltas tratando de entender este tema y aún no he encontrado un texto cohesivo que reúna suficiente intuición, matemáticas y detalles de implementación para sentir que entiendo completamente lo que está sucediendo. Agradecería cualquier recurso adicional o correcciones a esta respuesta.
