¿Hay una función con esta propiedad?

Question

¿Hay una función real sobre los números verdaderos con esta propiedad $\ \sqrt{|x-y|} \leq |f (x)-f (y) |$? ¿Mi respuesta no es pero alguien puede decirme por qué? Esto surgió como una pregunta de uno de mis colegas y no le puedo dar una respuesta.

Answer 1

De hecho, no hay tal función $f$ es posible.

Deja $$ Y ser la imagen de $f$, y dejar que $g$ ser la inversa de $f$. A continuación, como ha señalado Eric Nitardy, $|g(x)-g(y)|\le(x-y)^2$ para todo $x,$ y $Y$.

A partir de esta desigualdad se sigue que $g(Y)$ tiene medida cero, lo que se contradice con el hecho de que $g(Y)$ es toda la recta real. Para demostrar que $g(Y)$ tiene medida cero, es suficiente para mostrar que para cualquier entero $n$, $g(Y_n)$ tiene medida cero, donde $Y_n=Y\cap[n,n+1].$ Pero para cualquier $N$, $Y_n$ está contenida en una unión de $N$ intervalos de diámetro $1/$ N, cuyas imágenes de menos de $g$ tienen un diámetro que no exceda de $1/N^2$.

Answer 2

Observar que $f(x) = f(y)$ implica $x = y$, así que si $f$ es continua, entonces debe ser monótona. Ahora hemos terminado por un modo bastante sencillo encasillar argumento: si, digamos, $|f(1) - f(0)| = d$, entonces al menos uno de $|f(1) - f((n-1)/n)|, |f((n-1)/n) - f((n-2)/n)|, ...$ es en la mayoría de los $\frac{d}{n}$, y sacar $$ n lo suficientemente grande como esto lleva a una contradicción.

No tengo idea de lo que sucede si $f$ no es necesario ser continua. Pero la idea aquí es que la condición se vuelve más difícil de satisfacer las más de $x$ y $y$ son.

Answer 3

Siempre que $f(x_0)$ y $f(x_1)$ caen en un intervalo $[a, b]$, debemos tener $$|x_0 - x_1| \le (f(x_0) - f(x_1))^2 \le (a - b)^{2}.$$ Por lo tanto, la pre-imagen de cualquier intervalo $[a,b]$ bajo $f$ es contenida en un intervalo de longitud $(a-b)^2$. Ahora vamos a $a_0=0$ y $a_k=\sum_{n=1}^{k}n^{-1}$ para $k=1,2,3...$ Desde $a_k$ diverge, tenemos $\cup_k [a_k, a_{k+1}] = [0, \infty)$. Así que podemos escribir $$\begin{eqnarray} f^{-1}\left([0, \infty)\right) &=& f^{-1}\left(\cup_k [a_k, a_{k+1}]\right) \\ &=& \cup_k f^{-1}\left([a_k, a_{k+1}]\right) \\ &\subseteq& \cup_k I_k, \end{eqnarray}$$ donde cada $I_k$ es un intervalo de longitud $(a_{k+1} - a_{k})^2 = 1/(k+1)^2$. Este contables de la unión de los intervalos es medible y tiene una medida de $\le \sum_{k=0}^{\infty} 1/(k+1)^2 = \pi^2/6$. Del mismo modo, podemos demostrar que $f^{-1}\left((-\infty, 0]\right)$ también está contenida en un conjunto medible con la medida $\le \pi^2/6$. La combinación de estos resultados, hemos de $f^{-1}(\mathbb{R}) \subseteq Q$, donde $P$ es medible con la medida $\pi^2/3$. Claramente $Q \neq \mathbb{R}$ (desde $\mathbb{R}$ tiene una infinidad de medida); por lo tanto $f^{-1}(\mathbb{R}) \neq \mathbb{R}$ y $f$ no puede ser definido a lo largo de toda la recta real.

El mismo argumento con $a_k$ reemplazado por $\sum_{n=1}^{k}(n+\alpha)^{-1}$ puede ser utilizado para hacer la medida de la $Q$ arbitrariamente pequeño (por la elección de $\alpha$ lo suficientemente grande), y llegamos a la conclusión de que el dominio de $f$ no puede contener cualquier conjunto de medida positiva.

Answer 4

Creo que tienes razón, de hecho no hay ninguno. Es bastante fácil de probar que $\left |\frac{f(x+\varepsilon) - f (x)} {\varepsilon} \right | \geq \frac{1}{\sqrt{\left |\varepsilon \right |}}$, ahora piensa en lo que esto significa cuando $\varepsilon$ tiende a cero.

No estoy 100% seguro sobre el caso no-diferenciable no-continuo aunque.

Answer 5

Esto no es una respuesta completa, pero un pequeño lema que pueden ser útiles: Si $f$ existe, es ilimitado en cualquier intervalo.

Sin pérdida de generalidad, dejar que el intervalo $[0,\ell]$. Para algunos $n$, considere la posibilidad de la $n+1$ valores $f(0)$, $f(\ell/n)$, $f(2\ell/n)$, $\ldots,$ $f(\ell)$. Dos de estos deben diferir en al menos $\sqrt{\ell/n}$, entonces $n+1$ valores debe abarcar un rango de $n\sqrt{\ell/n} = \sqrt{n\ell}$. Vamos a $n$ ir hasta el infinito, y el lema de la siguiente manera.

Por supuesto, no ¿ existen funciones que son ilimitados en cualquier intervalo de tiempo (por ejemplo, $g(x) = q$ si $x = p/q$, y $0$ lo contrario), así que esto no descarta la existencia de la función propuesta. Pero si no existe, habría que ser bastante patológica.