Hallar el número de polinomio al $f(a) , f(b)$ es dado

Question

Encontrar el número de polinomios dado por $f(x)$ , con coeficientes enteros. Tal que $$f(7) =11; f(11)=13$$

Por favor, sugiera la solución de este..

Gracias ..

Answer 1

sugerencia Utilice el hecho de que
$$m-n | f(m)-f(n)$$

Para ver este uso de la identidad de la $m^k-n^{k}= (m-n)(m^{k-1}+m^{k-2}n+\cdots+n^{k-1})$

Answer 2

$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots a_0$

$f(7)=a_n7^n+a_{n-1}7^{n-1}+\dots a_0=11$

$f(11)=a_n11^n+a_{n-1}11^{n-1}+\dots a_0=13$

$f(11)-f(7)=a_n(11^n-7^n) +a_{n-1}(11^{n-1}-7^{n-1})+ \dots a_1\cdot4=2$

Ahora usted sabe que $a-b|a^n-b^n$, a partir de aquí.

$4|f(11)-f(7) \implies f(11)-f(7)=4k$

Pero $\dots 4 \not| 2$, concluyen.