Como parte de mi hobby estoy aprendiendo acerca de las poleas de Mac Lane y Moerdijk. Tengo un problema con Ch 2 Q 5, en la medida en que no creo que la afirmación de que ser probado es realmente cierto, en la actualidad. Aquí está la pregunta que se repiten:
Una gavilla en un conectadas localmente espacio de $X$ es localmente constante si cada punto de $x \in X$ tiene una base de abrir los vecindarios $\mathcal{N}_x$ de manera tal que siempre que $U,V \in \mathcal{N}_x$$U \subset V$, la restricción $\mathcal{F}V \rightarrow \mathcal{F}U$ es un bijection. Demostrar que $\mathcal{F}$ es localmente constante si el asociado etale espacio de más de $X$ es una cubierta.
Yo no tengo un problema (creo) que muestra la "cubierta" $\rightarrow$ "localmente constante", la dirección de la implicación. Mi problema es en la dirección inversa. De hecho, en el proceso de tratar de resolver este problema creo que he venido para arriba con una manera muy simple contraejemplo.
Aquí está mi intento en un contraejemplo:
Deje $X = \{a,b,c\}$ ser finito, el espacio abierto subconjuntos $\{\{\},\{a\},\{a,b\},\{a,b,c\}\}$. Reclamo este es hiper-conectado y conectado localmente.
Deje $\mathcal{F}$ ser la gavilla con $\mathcal{F}(\{a,b,c\}) = \{q\}$, $\mathcal{F}(\{a,b\}) = \{r,s\}$, y $\mathcal{F}(\{a\}) = \{t\}$ donde $r = q|_{\{a,b\}}$, e $t = q|_{\{a\}} = r|_{\{a\}} = s|_{\{a\}}$. Puedo reclamar esto define un localmente constante gavilla. De hecho, podemos tener $\mathcal{N}_{a} = \{\{a\}\}$, $\mathcal{N}_{b} = \{\{a,b\}\}$, y $\mathcal{N}_c = \{\{a,b,c\}\}$.
Ahora podemos calcular la correspondiente etale espacio de $p : E \rightarrow X$ como sigue: $E = \{\dot{q}(a), \dot{q}(b), \dot{q}(c), \dot{s}(b)\}$, y tiene estos cuatro elementos distintos desde $\dot{q}(a) = \dot{r}(a) = \dot{s}(a) = \dot{t}(a)$, e $\dot{q}(b) = \dot{r}(b)$. La acción de la $p$ sigue en construcción.
Sin embargo, $p$ no me parecen de un cubriendo el espacio. En particular, la única barrios de $b \in X$ $\{a,b\}$ $\{a,b,c\}$ y tenemos $p^{-1}(\{a,b\}) = \{\dot{q}(a),\dot{q}(b),\dot{s}(b)\}$ y esto no puede ser dividido en homeomórficos imágenes de $\{a,b\}$ porque $2 \nmid 3$. Del mismo modo, $p^{-1}(\{a,b,c\}) = \{\dot{q}(a), \dot{q}(b), \dot{q}(c), \dot{s}(b)\}$ y esto no puede ser dividido en homeomórficos imágenes de $\{a,b,c\}$ desde $3 \nmid 4$.
Así que creo que tengo una localmente constante gavilla en un conectadas localmente espacio en el que los correspondientes etale el espacio no es un cubrimiento. ¿Qué he hecho mal? He visto el reclamo mencionado en otra parte de modo que estoy convencido de que estoy equivocado en alguna parte. Tal vez alguien sabe donde una correcta prueba es publicado de otra manera?
