Si el gráfico de $G(f)$ $f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ es el camino-conectado, a continuación, $f$ es continua.

Question

Ayer me desperté pensando acerca de esta cuestión, y creo que tengo una prueba, pero no estoy seguro de su validez.

Deje $\gamma : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ ser un camino de$(a, f(a))$$(b, f(b))$. Primero de todo, voy a mostrar que podemos tomar WLOG $\gamma$ a ser inyectiva. Considere la posibilidad de un punto de $\alpha = (p, q) \in \mathbb{R}^{2}$. Consideremos el conjunto a $S = \{x \in [a, b]; \gamma(x) = \alpha\}$, lo que suponemos que no está vacía. Vamos $c = \inf S$, $c' = \sup S$. Por la continuidad de $\gamma$,$\gamma(c) = \gamma(c') = \alpha$. Podemos ahora considerar la equivalencia de la relación de $\sim$ $[a, b]$ que establece$x \sim x$$z \sim y$$z, y \in [c, c']$. El cociente del espacio de $[a, b] / \sim$ es homeomórficos a un intervalo (desde $a < c \leq c' < b$, por la continuidad de $\gamma$), y la inducida por el mapa de $\bar{\gamma} : [a, b] / \sim \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ puede ser tomado como un camino que pasa a través de $\alpha$ sólo una vez.

Desde $[a, b]$ es compacto y $\mathbb{R}^{2}$ es Hausdorff, $\gamma$ es un homeomorphism en su imagen. Claramente $\gamma([a, b]) \subset G(f)$. Ahora debemos mostrar que esto es una igualdad, que se realiza mediante el teorema del valor intermedio. Considere la posibilidad de $\pi_{1} : G(f) \rightarrow \mathbb{R}$ a ser la proyección sobre la primera coordenada, que es continuo. Considere la posibilidad de $\phi = \pi_{1} \circ \gamma : [a, b] \rightarrow [a, b]$, lo que también es continua. Desde $\phi(a) = a, \phi(b) = b$, $\phi([a, b]) = [a, b]$, y, por tanto,$\gamma([a, b]) = G(f)$. Por lo tanto $f$ es una función cuya gráfica es homeomórficos a su dominio. Vamos a mostrar en el siguiente párrafo que esto implica la continuidad de la $f$.

En efecto, supongamos $g : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ tiene un homeomorphism $H : [a, b] \rightarrow G(g)$. Esto induce un mapa de $T : [a, b] \rightarrow [a, b]$ tal que $H(x) = (T(x), g(T(x))$. Tomamos nota de $T$ es continuo desde $T = \pi_{1} \circ H$. Se ve claramente $T$ es bijective, y por lo tanto un homeomorphism desde [a, b] es compacto y Hausdorff. Desde $g \circ T$ es continua, $g \circ T \circ T^{-1} = g$ también es.

Answer 1

He aquí un argumento diferente.

Supongamos $\{x_n\}$ es una secuencia en $[a,b]$ convergentes para algunos $x$. Vamos a demostrar que hay una larga así que $f(x_{n_k}) \to f(x)$. Esto es suficiente; porque si $f$ no fueron continuas en $x$, existiendo una $\epsilon$ tal que para cualquier $n$ podríamos encontrar una $x_n$ $|x_n - x| < 1/n$ pero $|f(x_n) - f(x)| > \epsilon$. Entonces tendríamos $x_n \to x$, pero no subsequence de $\{f(x_n)\}$ podría converger a $x$, contradiciendo nuestra reclamación.

Desde la gráfica de $f$ es la ruta de acceso conectado, hay un camino continuo $c(t) = (u(t), v(t))$ $v(t) = f(u(t))$ por cada $t$, y $c(0) = (a, f(a))$, $\gamma(1) = (b, f(b))$. Por el teorema del valor intermedio, para cada una de las $n$ no es un porcentaje ( $t_n \in [0,1]$ $u(t_n) = x_n$ . Desde $[0,1]$ es compacto, podemos encontrar una larga $t_{n_k}$ convergentes para algunos $t$. Entonces, por la continuidad de $u$, ya que el $u(t_{n_k}) = x_{n_k} \to x$,$u(t) = x$. Ahora $v$ también es continua, por lo $$f(x_{n_k}) = f(u(t_{n_k})) = v(t_{n_k}) \to v(t) = f(u(t)) = f(x).$$ así, Hemos construido el deseado larga.

Answer 2

En realidad, no es un problema cuando usted afirma que usted puede tomar $\gamma$ a ser inyectiva. La definición de $\sim$ la manera en que lo hizo, el espacio cociente es $\textbf{not}$ homeomórficos a un segmento. Usted tiene que definir de esta manera : $\forall x \in [a,b]$, $x \sim x$ y $\forall x, y \in [c,c']$, $x \sim y$. Y esto no es suficiente : en este proceso se elimina sólo uno de los bucles de "contenidos" en $\gamma$. De inyectividad es la más delicada parte del problema, creo.

Una prueba (la esperanza de que usted puede leer en francés) puede ser encontrado en los comentarios de aquí : http://allken-bernard.org/pierre/weblog/?p=1180