Mostrando que $\lceil (\sqrt{3} + 1)^{2n} \rceil$ es divisible por $2^{n+1}$.

Question

Tengo una pregunta que ha fluxommed a mí y a mis compañeros en los últimos días. Cualquier ayuda o solución es bienvenida

Mostrar usando el teorema del Binomio de que el entero justo después de $(3^{1/2} + 1)^{2n}$ es divisble por $2^{n+1}$.

aquí n pertenece a los números naturales (enteros positivos).

Answer 1

Este es un clásico, el estándar de prueba es considerar

$$ (\sqrt{3} + 1)^{2n} = x_n + y_n \sqrt{3}$$

para un entero $x_n$, $y_n$, (que se puede ver usando el teorema del Binomio) y mostrar que

$$ (\sqrt{3} - 1)^{2n} = x_n - y_n \sqrt{3}$$

de nuevo usando el teorema del Binomio.

Ahora uso el hecho de que $\sqrt{3} - 1 \lt 1$ y que

$$(\sqrt{3} + 1)^{2n} + (\sqrt{3} - 1)^{2n} = 2x_n$$

Por lo tanto, el número entero que se busca es $2x_n$.

Obtener una periodicidad de $x_n$ $y_n$ y el uso de la inducción.

Para obtener la recurrencia:

tenemos que $(\sqrt{3} + 1)^2 = 4 + 2\sqrt{3}$, por lo que

$$ x_{n+1} + y_{n+1} = (x_n + y_n \sqrt{3})(4 + 2 \sqrt{3}) = (4x_n + 6y_n) + (2x_n + 4y_n) \sqrt{3}$$

Así

$$ x_{n+1} = 4x_n + 6y_n$$ $$ y_{n+1} = 2x_n + 4y_n$$

Escribir $$x_{n+2} = 4x_{n+1} + 6y_{n+1}$$ and eliminate $y_n$ and $y_{n+1}$

(Creo que viene a $x_{n+2} = 8x_{n+1} - 4 x_n$)

Answer 2

Esto es similar a la de Henry respuesta, pero las cosas son más sencillas si utilizamos $4+2\sqrt{3}=(1+\sqrt{3})^2$ $4-2\sqrt{3}=(1-\sqrt{3})^2$ lugar. Estas satisfacer $x^2-8x+4=0$.

La secuencia definida por $$ a_0=2\text{, }a_1=8\text {y }a_n=8a_{n-1}-4a_{n-2}\etiqueta{1} $$ tiene la solución $$ \begin{align} a_n &=(4+2\sqrt{3})^n+(4-2\sqrt{3})^n\\ &=(1+\sqrt{3})^{2n}+(1-\sqrt{3})^{2n}\\ &=\left\lceil(\sqrt{3}+1)^{2n}\right\rceil\text{ for }n>0\tag{2} \end{align} $$ Deje $b_n=a_n2^{-n-1}$. A continuación, $(1)$ se convierte en $$ b_0=1\text{, }b_1=2\text {y }b_n=4b_{n-1}-b_{n-2}\etiqueta{3} $$ La recursividad $(3)$ asegura que $b_n\in\mathbb{Z}$ todos los $n\ge0$. Por lo tanto, para $n>0$, $(2)$ los rendimientos $$ \begin{align} \left\lceil(\sqrt{3}+1)^{2n}\right\rceil &=a_n\\ &=2^{n+1}b_n\\ &\in2^{n+1}\mathbb{Z}\tag{4} \end{align} $$

Answer 3

Esto similar a la secuencia de Fibonacci y va a implicar una recurrencia.

Tenga en cuenta que $1+\sqrt{3}$ es una solución de $x^2=2x+2$ y la otra solución es $1-\sqrt{3}$.

Así que usted puede ver que $$a_n=(1+\sqrt{3})^n + (1-\sqrt{3})^n$$ satisfies $$a_{n+2}=2a_{n+1}+2a_n.$$ If this is not instantly obvious then prove it by induction. The sequence $a_n$ starts $2,2,8,20,56,152,416,\ldots$. OEIS A080040

Desde $(1-\sqrt{3})^{2n}$ es positivo y está a menos de $1$ positivos $n$, usted tiene $$a_{2n}=\left\lceil(\sqrt3+1)^{2n}\right\rceil\;$$ for positive $$n.

Desde $a_0$ $a_1$ son ambos divisibles por $2$, es fácil de inducción a partir de la recurrencia que $a_{2n}$ $a_{2n+1}$ son ambos divisibles por $2^{n+1}$.

Answer 4

Se puede demostrar por el método de inducción y fácilmente obtener la respuesta.

Obviamente, la afirmación es verdadera para n =1.

Supongamos que el enunciado es cierto para n=k;

i.e, (√3+1)^(2k) is divisible by 2^(k+1).

(√3+1)^(2k) = [2^(k+1)]*q, for some q.

Ahora tenemos que demostrar que la afirmación es verdadera para n=k+1;

(√3+1)^(2(k+1)) = (√3+1)^(2k + 2) 
                = [(√3+1)^(2k)]*[(√3+1)^(2)]
                = [2^(k+1)]*q*[3 + 1 + 2√3]
                = [2^(k+1)]*q*2*(2 +√3)
                = [2^(k+2)]*q*(2 +√3)  

Por tanto, (√3+1)^(2(k+1) es divisible por 2^(k+2).

Por tanto la afirmación es verdadera para n=k+1.