Mostrar que $\sum^\infty_{n=1} \mu(\{x : |f_n(x) - f(x)| > \epsilon\}) < \infty$ implica $f_n \to f$.e.

Question

Mostrar que $\sum^\infty_{n=1} \mu(\{x : |f_n(x) - f(x)| > \epsilon\}) < \infty$ implica $f_n \to f$.e, donde a $f_n$ $f$ son funciones medibles.

Mi intento: El Borel Cantelli lema nos da que casi todos los $x$ son en la mayoría de un número finito de $A_n = \{x : |f_n(x) - f(x)| > \epsilon\}$, por lo que, para cada una de las $x$, existe alguna $N$ tal que para todo $n \ge N$, $|f_n(x) - f(x)| \le \epsilon$. Como esto es cierto para todos los $\epsilon$, dejamos $\epsilon$ ir a cero, y hemos terminado.

Esto es lo que tengo, pero alguien me dijo que tengo un problema con la countability, y que para solucionarlo, tengo que considerar $\epsilon = 1/k$. Pero, no veo por qué mi prueba es incorrecta, por lo tanto no veo cómo podría solucionarlo.

Answer 1

La prueba es esencialmente buena. El countability problema es en $\epsilon$. La prueba de que funciona para una fija $\epsilon>0$, pero, ¿cómo hacerla extensiva a todos los $\epsilon>0$?

Aquí es cómo resolverlo.

Deje $A_{n,m} = \{x : |f_n(x) - f(x)| > \frac{1}{m}\}$ y deje $[f_n \nrightarrow f]$ el conjunto de $x$ donde $f_n(x)$ no converge a $f$. Es fácil ver que $$[f_n \nrightarrow f] = \bigcup_{m=1}^\infty\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_{k,m}$$

Ya que, para todos los $m$, $\sum^\infty_{n=1} \mu(A_{n,m}) < \infty$, por Borel-Cantelli, tenemos que $$\mu \left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_{k,m} \right)=0$$

Así tenemos $$\mu([f_n \nrightarrow f]) = \mu \left (\bigcup_{m=1}^\infty\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_{k,m}\right)=0$$

Por lo $f_n \to f$.e.

Answer 2

Deje $A_n = \{x : |f_n(x) - f(x)| \geqslant\epsilon\}$. Por Borel Cantelli lema, tenemos $$ \sum^\infty_{n=1} \mu(\{x : |f_n(x) - f(x)| \geqslant \epsilon\}) < \infty\implica\mu(\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k)=0 $$ Desde $$ x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k\implica x\en A_n \hspace{3 mm}\text{infinitamente a menudo} $$ lo que significa que hay infinitas $n$ tal que $|f_n(x) - f(x)| \geqslant\epsilon$,$f_n \to f$.e.