Cómo evaluar la integral definida $\int_0^{\pi/2}\ln(2015+\sin^2 x)dx$

Question

Tengo que encontrar el valor de : $$\int_0^{\pi/2}\ln(2015+\sin^2 x)\,dx$$ pero no tengo ninguna pista acerca de una técnica eficaz. Traté de integración por partes, pero de ninguna ayuda. He encontrado esto en un sitio en línea de cálculo. Actualmente soy Xii grado. Aunque la integral se puede aproximar por trapezoidal y de Simpson regla quiero un método para encontrar el valor exacto.

Answer 1

En el intervalo de $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ el integrando la función es casi constante, ya que aumenta de$\log(2015)$$\log(2016)$. En particular, tenemos: $$ I=\int_{0}^{\pi/2}\log\left(2015+\sin^2 x\right)\,dx = \frac{\pi}{2}\log(2015)+\int_{0}^{\pi/2}\log\left(1+\frac{\sin^2 x}{2015}\right)\,dx \tag{1}$$ pero ya que: $$ \log(1+z) = \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\,z^n \tag{2}$$ para cualquier $|z|<1$ y el: $$ \int_{0}^{\pi/2}\sin^{2n}(x)\,dx = \frac{\pi}{2\cdot 4^n}\binom{2n}{n}\tag{3}$$ de ello se sigue que: $$ I = \frac{\pi}{2}\log(2015)+\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}\pi}{2n\cdot 8060^n }\binom{2n}{n}.\tag{4} $$ Por otra parte, debido a que: $$ \sum_{n\geq 1}\frac{z^n}{n}\binom{2n}{n}=2\log 2-2\log\left(1+\sqrt{1-4z}\right) \tag{5}$$ puede ser demostrado mediante la diferenciación de ambos lados y la explotación de la generación de la función de la catalana, números, tenemos:

$$ I = \frac{\pi}{2}\cdot\log\left(\frac{4031}{4}+6\sqrt{28210}\right).\tag{6}$$

No por casualidad, $\frac{4031}{4}+6\sqrt{28210}$ está muy cerca de a $2015.5$:

$$ \frac{4031}{4}+6\sqrt{28210} = 2015.4999689903245\ldots $$

Answer 2

Sugerencia. Usted puede configurar $$ I(a):=\int_0^{\pi/2}\ln(a+\sin^2 x)dx, \qquad\geq0. $$ A continuación, la diferenciación bajo el signo integral con respecto a $a$ consigue $$ \begin{align} I'(a)&=\int_0^{\pi/2}\frac1{a+\sin^2 x}dx\\\\ &=\int_0^{\infty}\frac1{a+\dfrac{t^2}{t^2+1}}\dfrac{dt}{t^2+1}\quad (t=\tan x)\\\\ &=\int_0^{\infty}\frac1{(a+1)t^2+a}dt\\\\ &=\frac{\pi}2\frac{1}{\sqrt{a(a+1)}}\\\\ &=\pi \left.\left(\ln \left(\sqrt{a}+\sqrt{a+1}\right)\right)\right|_a^{'} \end{align} $$ Mus $$ \int_0^{\pi/2}\ln(a+\sin^2 x)dx=\pi \ln \left(\sqrt{a}+\sqrt {+1}\right)+C $$ with $C=I(0)=-\pi \ln 2$ (este es un clásico), dando

$$ \int_0^{\pi/2}\ln(a+\sin^2 x)dx=\pi \ln \left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt {+1}}2\right) \quad\geq0.$$

Su primera integral se obtiene con $a=2015$.