Es $\mathbb{Z}(p^{\infty})$ un espacio vectorial sobre algún campo $\mathbb{F}$?

Question

No sé cómo escribir en inglés, así que voy a seguir Hungerford la palabra de su libro de Álgebra.

La siguiente relación en el grupo aditivo $\mathbb{Q}$ de los números racionales es una relación de congruencia $a\sim b \leftrightarrow a-b\in \mathbb{Z}$. Denotar por $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ el conjunto de todas esas clases de equivalencia. Deje $p$ ser una de las primeras y $$\mathbb{Z}(p^{\infty})=\{\overline{a/b}\in \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\;|\; a,b \in \mathbb{Z}\text{ and }b=p^{i}\text{ for some } i\geq 0\}.$$

Estoy tratando de definir un espacio vectorial estructura en $\mathbb{Z}(p^{\infty})$ sobre un campo $\mathbb{F}$, pero creo que es imposible. Por ejemplo, si $\mathbb{F}$ es incontable, no se puede hacer. Pero no sé para responder a esta pregunta al $\mathbb{F}=\mathbb{Q}$ o $\mathrm{char}(\mathbb{F})=q$ donde $q$ es un número primo.

Gracias por su ayuda!

Answer 1

Un espacio vectorial sobre $\mathbf{F}$ debe satisfacer ese $\alpha\mathbf{v}=\mathbf{0}$ si y sólo si $\alpha=0$ o $\mathbf{v}=\mathbf{0}$.

En particular, si $\mathbf{F}$ es de carácter $0$, entonces el subyacente abelian la estructura del grupo de $V$ debe ser de torsión libre, ya que la escritura $n$ como una suma de $n$ copias de $1_{\mathbf{F}}$, obtenemos $$\underbrace{\mathbf{v}+\cdots+\mathbf{v}}_{n\text{ summands}} = (\underbrace{1_\mathbf{F}+\cdots+1_{\mathbf{F}}}_{n\text{ summands}})\mathbf{v} = \mathbf{0}\implies \mathbf{v}=\mathbf{0}.$$

Del mismo modo, un espacio vectorial sobre un campo de característica $p\gt 0$ debe tener subyacentes abelian la estructura de un grupo que es $p$-torsión ($p\mathbf{v}=\mathbf{0}$ todos los $\mathbf{v}\in V$). Esto no es para el grupo de Prüfer, por lo que el grupo de Prüfer no puede ser dada una estructura de espacio vectorial sobre cualquier campo.

Answer 2

Permítanme escribir $V=\mathbb Z(p^\infty)$ por razones de brevedad.

Observe que el elemento $x=\overline{1/p}$ $V$ no es cero y es tal que $p\cdot x=0$. De esto se desprende que si $V$ es ser un espacio vectorial, tiene que ser un espacio vectorial sobre un campo de característica $p$. En particular, $p\cdot y=0$ todos los $y\in V$.

Pero ahora $z=\overline{1/p^2}\in V$ es un elemento que $p\cdot v\neq0$.

Answer 3

No existe tal campo. El grupo tiene la propiedad de que cada elemento tiene un número finito de orden, por lo que no puede ser un espacio vectorial sobre un campo de característica $0$; pero el grupo tiene elementos de orden distinto al $1$$q$, por lo que no puede ser un espacio vectorial sobre un campo de característica $q$. (Después de todo, si $q = 0$,$q v = 0$).