Imagine el agua que fluye de manera constante en una corriente, de manera constante lo que hace que la superficie del agua nunca cambia de forma. El agua forma una imagen tridimensional de colector $M$. Ver cómo el agua se mueve a lo largo de un período de $t$ segundos da un diffeomorphism $\phi^t \colon M \a M$. Si la corriente es la realización de una diatomea por la corriente, y usted verá en el punto $p$, usted sabe que en $t$ segundos estará en el punto $\phi^t(p)$.
El agua se encuentra dentro de el espacio Euclidiano, por lo que podemos medir ángulos y distancias en el agua. En otras palabras, $M$ tiene una métrica de $g$. El flujo de la corriente puede cambiar los ángulos y las distancias. Como ejemplo, imagine una pequeña medusa flotando en la corriente. Ahora, es en el punto $p$, y dos de sus tentáculos que sobresalen a lo largo de la perpendicular de la unidad de vectores de $v, w \en T_p M$.
Después de que $t$ segundos, la medusa será en $\phi^t(p)$, y sus tentáculos se pegue a lo largo de los nuevos vectores de $\phi^t_*(v)$ y $\phi^t_*(w)$. Aquí, $\phi^t_*$ denota el pushforward, también conocido como el total de derivados, de la diffeomorphism $\phi^t$. Los vectores $\phi^t_*(v)$ y $\phi^t_*(w)$ no se vectores unitarios más, y no podría ser perpendicular más bien.
Como la medusa que flota hacia el arroyo, ¿cómo son los ángulos y las longitudes de sus tentáculos cambiando? La Mentira derivados de la métrica de $g$ nos dirá.
La velocidad del agua en el punto $p$ es descrito por un vector tangente a $M$ a $p$, de forma que la velocidad del agua en todas partes es descrito por un vector de campo $X$ en $M$. El campo de velocidad $X$ no cambia con el tiempo, porque el agua está fluyendo constantemente. El número de
$$\mathcal{L}_X g(v, w)$$
se define como la tasa actual de cambio, es decir, la derivada en el tiempo cero de $g(\phi^t_*(v), \phi^t_*(w))$. De manera más general, $\mathcal{L}_X g$ se describe la forma en que el flujo de la corriente es el cambio de ángulos y distancias.
Por último, ¿qué significa si $\mathcal{L}_X g$ es cero? Esto significa que el flujo del agua no cambia de ángulos y distancias. El agua se mueve en un completamente rígido: que bien podría ser una hoja de hielo de deslizamiento hacia abajo de una colina, en lugar de un arroyo. En un par de segundos, todas las diatomeas y las medusas atrapado en el hielo en diferentes lugares, pero los ángulos y las distancias entre ellos no va a cambiar. Las criaturas, a pesar de ser congelado en el mismo se plantea; la pobre medusa tiene sus tentáculos que salen en ángulos rectos para siempre.
En física, la corriente $M$ es reemplazado por el espacio-tiempo. Un campo de vectores de $X$ de $\mathcal{L}_X g = 0$ se describe completamente rígido movimiento del espacio-tiempo: un flujo que no cambia el espacio-tiempo de los intervalos entre los eventos. El nombre técnico para esto es un flujo de isometrías.
En el espacio-tiempo de Minkowski, constantes rotaciones, constante aumenta, constante y traducciones en el espacio y el tiempo son todos los flujos por isometrías, por lo que el asociado campos vectoriales son todos ejemplos de campos de Matanza. En particular, si usted está flotando en el espacio sin tumbling o acelerar, el "flujo del tiempo" desde su punto de vista es un flujo de isometrías.
Para otro ejemplo, supongamos que usted está en órbita alrededor de una estrella, por lo que su mundo es bien descrito por un espacio-tiempo de Schwarzschild. Si su órbita es circular, el "flujo del tiempo" desde su punto de vista es una vez más un flujo de isometrías. Un deporte extremo astronauta usando una luz de la vela se ciernen sobre la estrella sin que giran a su alrededor se ve distinto "flujo del tiempo", y que el suyo es un flujo de isometrías.
En general, un timelike campo de muerte describe un punto de vista de que el "flujo del tiempo" es completamente rígido: el río del tiempo es más como un glaciar de tiempo. Un espacio-tiempo con un punto de vista que se llama estacionaria. En los ejemplos anteriores, podemos ver que el espacio-tiempo de Minkowski y de Schwarzschild spacetimes son estacionarias. FLRW spacetimes, sin embargo, no son: no importa cómo se mire, un universo FLRW siempre es expandir o colapsar, por lo que no se puede encontrar ningún punto de vista desde el cual el flujo del tiempo es rígido. Incluso en la Tierra, dudo que el espacio-tiempo está muy cerca de la estacionario: si alguna vez has visto un castillo de arena inundada por la marea creciente, usted sabe la gravedad de la Luna es demasiado fuerte como para ignorarlo, así que nuestro local el espacio-tiempo es, probablemente, el mejor descrito por alguna extraña tres cuerpo-espacio-tiempo que implican la Tierra, la Luna y el Sol. Esta imagen, si lo precisas, justifica el "río del tiempo" imágenes utilizadas por los poetas desde tiempo inmemorial.
