Son funciones simples denso en $L^\infty$?

Question

Son funciones simples denso en $L^\infty$? He sido capaces de mostrar este finito para medir los espacios, pero no en general.

Answer 1

Si $f$ es acotado, entonces la función que tiene el valor de $k\cdot\varepsilon$ en el conjunto donde $k\cdot\varepsilon\leq f(x)<(k+1)\cdot\varepsilon$ (para cada una de las $k\in\mathbb Z$) es una función simple cuyas $L^\infty$ distancia a $f$ es en la mayoría de las $\varepsilon$.

Answer 2

A partir de la definición de $L_{\infty}(X,\mathbb{X},\mu)$ como el conjunto de todas las funciones esencialmente acotadas , donde $f:X\longrightarrow \mathbb{R}$ una función de $\mathbb{X}$medible es esencialmente limitado iff hay una limitada función de $g:X\longrightarrow \mathbb{R}$ tal que $g=f$$\mu$ -.e, tenemos que para cualquier $f\in L_{\infty}$ se puede encontrar un representante de $g$ a partir de la equivalencia de la clase $f$ que es acotada.

Así que, para que la función podemos encontrar una secuencia $(\phi_n)$ de la simple función que converge uniformemente a$g$$L_{\infty}$, de modo que la secuencia converge también a$f$$L_{\infty}$.

Como toda función simple que pertenece a $L_{\infty}$, esta convergencia se da en $L_{\infty}$, lo $\parallel f-\phi_n \parallel_{\infty} \rightarrow 0$