Deje $K$ ser un campo de número y deje $p\in \mathbb{Z}$ ser una de las primeras. Supongamos que $p\mathcal{O}_K=Q^eI$, $\gcd(Q, I)=1$ y deje $\mathcal{D}_{K/\mathbb{Q}}$ ser los diferentes ideales de $K$. Sabemos que $Q^{e-1}\mid \mathcal{D}_{K/\mathbb{Q}}$ e si $Q$ está confiando inocentemente se ramifica a través de $p$, es decir,$p\not\mid e$,$Q^e\not\mid \mathcal{D}_{K/\mathbb{Q}}$. Supongamos ahora que $Q$ es salvaje $p$, es decir,$p\mid e$, y deje $k$ ser la potencia exacta de $Q$ que divide $\mathcal{D}_{K/\mathbb{Q}}$. Si conocemos $p$$e$, se podrá dar un límite superior en $k$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí, hay un límite superior, dependiendo únicamente de la $p$$e=p^n$, y se logra en la extensión de $K=\Bbb Q(p^{1/e})$.
Esta es una cuestión puramente local, y voy a pretender que se la pidió para salvajemente ramificado extensiones de $\Bbb Q_p$, a pesar de que la traducción a $\Bbb Q$ es casi automático. Primero echemos un vistazo a la extensión:
Tenemos $\pi$, a raíz de la $X^{p^n}-p$, cuya derivada es $p^nX^{p^n-1}$, sustituto $\pi$ y consigue $p^n\pi^{p^n-1}=\delta$, un número con $v_\pi(\delta)=np^n+p^n-1=(n+1)e-1$. Yo digo que esto es tan grande como su número de $k$ puede conseguir.
Nuestro general de extensión de la $K\supset\Bbb Q_p$ es ser totalmente salvajemente ramificada, por lo que de grado $p^n=e$, con un primer elemento $\pi$ que es la raíz de una Eisenstein polinomio $F(X)\in\Bbb Q_p[X]$. Decir $F=X^{p^n}+\sum_0^{e-1} c_jX^j$,$\delta=F'(\pi)=p^n\pi^{p^n-1}+\sum_0^{p^n-2}(j+1)c_{j+1}\pi^j$. Cuando usted pide la $v_\pi$-valor de esto, observe que no hay dos monomials en la expresión tiene el mismo valor, ya que todos son incongruentes modulo $p^n=e$: los números de $v_\pi(c_{j+1})$$\Bbb Q_p$, por lo que son divisibles por $e=p^n$. Por lo que el mínimo de la $v_\pi$-valores de estos monomials bien puede ser menor que la de $p^n\pi^{p^n-1}$, pero a partir de este monomio también podría dominar, como lo hizo en mi ejemplo, que es el mayor valor posible para $k$.
