El centro de un álgebra simple es un campo

Question

¿Cómo se puede demostrar que el centro del álgebra simple es un campo?

Lo he intentado y he demostrado que la inversa existe para cada elemento del centro pero no puedo demostrar que la inversa de cada elemento pertenece al centro. Por favor, ayúdenme.

Answer 1

Si $ab=ba$ y $a^{-1}$ existe, entonces $a^{-1}b=a^{-1}(ba)a^{-1}=a^{-1}(ab)a^{-1}=ba^{-1}$ .

Answer 2

Esta cuestión, "teorema", si se quiere, no es cierta en general. Lo que se pide es demostrar que el centro de un álgebra de DIVISIÓN es simple.

Para un ejemplo de por qué esta pregunta es falsa, dejemos que nuestro anillo conmutativo subyacente sea $\mathbb{Z}$ . Ahora, observe que en el anillo $2\mathbb{Z}$ el ideal $\langle 2 \rangle$ es un ideal máximo. Entonces el anillo de factores $\frac{2\mathbb{Z}}{\langle 2 \rangle}$ es simple y conmutativa. Además, también existe un $\mathbb{Z}$ -acción sobre $\frac{2\mathbb{Z}}{\langle 2 \rangle}$ por lo que es fácil comprobar que $\frac{2\mathbb{Z}}{\langle 2 \rangle}$ es un $\mathbb{Z}$ -Álgebra. Ahora vemos que $Z(\frac{2\mathbb{Z}}{\langle 2 \rangle})=\frac{2\mathbb{Z}}{\langle 2 \rangle}$ pero $\frac{2\mathbb{Z}}{\langle 2 \rangle}$ no es un campo. Por lo tanto, la pregunta, tal como se plantea en la generalidad es falsa, pero puede hacerse verdadera insistiendo en que el álgebra simple en cuestión es un álgebra de división.