$\mu$ medibles y funciones separables métrica espacios

Question

Estaba leyendo un libro de matemáticas y el autor da la siguiente sin pruebas. No tengo ni idea de cómo proceder.

Deje $(X, \mathcal{F}, \mu)$ ser una medida en el espacio y el $(Y,d)$ ser un espacio métrico separable ($d$ es la métrica). Si $f:(X,\mathcal{F}) \rightarrow (Y, d)$ $\mu$medible de la función de demostrar que existe una $\mathcal{F}$ medibles función que coincide con $f$ todas partes, excepto en un $\mu$-insignificante conjunto.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

EDIT: El libro de texto es "Funciones de Variación Acotada y Libre de Problemas de Discontinuidad" de Luigi Ambrosio et. al.

Answer 1

Edit: acabo de descubierto una manera mucho más fácil. Así que, he editado la respuesta.

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Deje $\mathcal{V} = \{V_n : n = 1, 2, \dotsc\}$ ser una contables de base para la topología de $Y$.

Para cada una de las $V_n$, elija un insignificante $E_n \subset X$ tal que $f^{-1}(V_n) \setminus E_n \in \mathcal{F}$. Puede suceder que $\bigcup E_n \not \in \mathcal{F}$. Pero ya que es un insignificante set, hay un insignificante $Z \in \mathcal{F}$ tal que $\bigcup E_n \subset Z$.

Corregir algunos $y \in Y$, y, a continuación, definir $$g(x) = \left\{ \begin{array}{} f(x), & x \not \in Z \\ y, & x \in Z \end{array} \right.$$

Observe que para cualquier $V_n \in \mathcal{V}$, si $y \not \in V_n$, $$\begin{align*} g^{-1}(V_n) &= f^{-1}(V_n) \setminus Z \\&= (f^{-1}(V_n) \setminus E_n) \setminus Z \in \mathcal{F}. \end{align*}$$ Y si $y \in V_n$, $$\begin{align*} g^{-1}(V_n) &= f^{-1}(V_n) \cup Z \\&= (f^{-1}(V_n) \setminus E_n) \cup Z \in \mathcal{F}. \end{align*}$$ Es decir, $g^{-1}(\mathcal{V}) \subset \mathcal{F}$. Abierto todos los conjuntos de $Y$ (contables) de la unión de elementos en $\mathcal{V}$. Por lo tanto, $\mathcal{V}$ genera el $\sigma$-álgebra de conjuntos de Borel $\mathcal{B}$. Y así, $g$ $\mathcal{F}$- medible. De hecho, $$g^{-1}(\mathcal{B}) = g^{-1}(\sigma(\mathcal{V})) = \sigma \left(g^{-1}(\mathcal{V})\right) \subconjunto \mathcal{F}.$$

Ya que es evidente que $g$ $f$ son iguales en casi todas partes, la prueba está completa.

Answer 2

Deje $(V_n) \in Y$ ser una contables de base para el espacio métrico separable $Y$. A continuación, definir $V_n^\prime = V_n \cap V_{n-1}^c \cap V_{n-2}^c... \cap V_1^c$ $V_1^\prime = V_1$ . Claramente, $V_n^\prime$ son todos medibles. Ahora $f^{-1}(V_n^\prime) = E_n \cup N_n = E_n + (E_n^c \cap N_n) = E_n + N_n^\prime$ donde $E_n$ es $\mathcal{F}$medible y $N_n, N_n^\prime$ $\mu$-insignificante. Como todos los $V_n^\prime$ son todos pares distintos, $f^{-1}(V_n^\prime) = E_n + N_n^\prime$ son todos distintos. Definir una nueva función $g: X \rightarrow Y$ tal que $g(x) = f(x)$ sobre todo $x \in E_n$ y en $x \in (\cup_{i=0}^\infty E_i)^c$ a cualquier valor. A continuación, $g$ $\mathcal{F}$medible y es un.e. igual a $f$.

Espero que esta prueba es correcta.